[Lineaire Algebra] Lineaire Varieteiten

[Fristi]

Loha

Had problemen met een oefening vant examen van vorig jaar, namelijk:

In R^3: Stel R een rechte door het punt met richtingsvector.

a) Geef de vergelijking van het vlak die de oorsprong o en de rechte R bevat.

b) Bepaal de loodrechte projectie van het punt op en de afstand van a tot .

[Fristi]

iemand?

[Norfolk]

goh das lang geleden zuh, maar zonder op te zoeken

a) ge hebt die ene richtingsvector, en een tweede richtingsvector stelt ge op door p - o te doen is dus richtingsvector [111]. Met die twee richtingsvectoren kunt ge een vergelijking opstellen van dat vlak, dacht ik

b) kan ik ni direct mee helpen zonder da terug te moeten bezien

[Robbe]

b) intuitief: loodrechte vector op het vlak en dan de projectie van p-a op die vector?

loodrechte vector = vectorproduct en projectie = dotproduct als ik me niet vergis

[Stanny]

loodrechte projectie: vgl van de rechte opstellen met als richtingsvector de normaal van u vlak, en als punt uiteraard u punt a, het snijpunt van die rechte met u vlak is dan u projectie

afstand: norm van de vector tussen a en het snijpunt uit vorige oefening

as ge echt wilt kannek da ammel is uitrekene ook, mr ... heb daar nu op dees uur (1:16) ni veel zin mr voor ...

[Fristi]

nja, moeste er tijd voor hebben vandaag of morgen, da zou ik fijn vinden *puppy eyes*

[Stanny]

ge kunt da natuurlijk ook altijd aan de echte mentor wiskunde vragen e ...
neeh, kzal da vanavond is probere te fixe kzal de oplossing poste ze

[Fristi]

haha, tjah, ik heb het opt forum gegooid , kan iedereen helpen . Maar in ieder geval al bedankt!

[Math Wolf]

b) De normaal is normaal gezien . Dit staat loodrecht op beide richtingsvectoren van het vlak.

De loodrechte door het punt a is dus waarbij het snijpunt kan bepaald worden door te specifiëren zo dat dit in het vlak ligt. Als ik me niet vergis is dit voldaan voor , en is het punt een deel van het vlak.

De afstand tussen en is dan de norm, oftewel de wortel van de sum of squared differences, dus

Correct me if I'm wrong.


EDIT: Oplossing aangepast aan verbeterde opgave.

[Joachimvdh]

Hetgeen volgens mij meer in de lijn van de leerstof ligt:
dus uw 2 richtingsvectoren staan orthogonaal. bijgevolg hebt ge dus een basis voor uw vlak. dan moogt ge zeggen dat

en komt ge dus snel aan a'.

[Fristi]

bedankt al allemaal

Keuj, had blijkbaar een klein foutje in de opgave staan, een teken fout in w

[Fristi]

@Joachim: in zijn voorbeeld examen staat wel degelijk dat w = [ 1 1 1 ] ...

[Fristi]

k, heb nen hoop bijgelezen en dergelijke meer, begrijp het al een pak beter.

De vergelijking van men vlak is


Dan de normaal van het vlak geeft:
(dit komt van wikipedia).

dan met die normaal vult ge in:


We krijgen dan

dit vullen we in in onze vlakvergelijking:

en we krijgen dan

Dit geeft dan als snijpunt

De afstand tussen a en dit punt is dan

[Stanny]

et geen wa ge tot nu toe gezegd hebt is juist

[Joachimvdh]

Nog eenvoudiger (zo doen ze het in de oef)
projecteer op de normaal, dan ken ja en uit a en aa' haalt ge a'.