klein wiskundeprobleempje

[Beasty]

Ben hier op iets uitgekomen waarvan ik weet dat het niet correct is, maar er komt me niet meteen een regel in gedachten die expliciet zegt waar ik rekening mee zou moeten houden:

2 = |-2| = sqrt((-2)^2) = ((-2)^2)^(1/2) = (-2)^(2*1/2) = (-2)^1 = -2

Welke regel overtrad ik ??

Ik weet dat de equivalentie sqrt(x) = x^(1/2) enkel geldt als x positief is, maar in bovenstaande is x = (-2)^2, wat duidelijk positief is.

Dus welke regel overtrad ik dan wel ??

[Math Wolf]

sqrt is niet duidelijk gedefinieerd. Wiskundig gezien heb je altijd dat sqrt = + en/of - het bepaalde getal.

Dus eerst en vooral |-2| = sqrt((-2)^2) is niet correct.
sqrt((-2)^2) = +2 en/of -2.

Bijgevolg met je hier specifiëren dat het hier enkel om de positieve wortel gaat en dan kan je de volgende stappen niet meer blindelings doen.

((-2)^2)^(1/2) = (-2)^(2*1/2) klopt dan niet meer. De positieve wortel uit het linkerlid krijg je door de negatieve te nemen (en dus een - toe te voegen) aan het rechterlid.

[Beasty]

Misschien had ik dat niet mogen noteren met `sqrt()', maar ik bedoelde wel degelijk ermee het wortelteken, dat ik nu even `V' ga noteren.

De Vx is altijd de positieve 2de-machtswortel, toch ? (per definitie, opdat het een functie is) en -Vx is altijd de negatieve 2de-machtswortel.

De absolute waarde van een getal is de 2de-machtswortel van het kwadraat van dat getal, m.a.w.

|x| = V(x^2)

Dus wat ik oorspronkelijk bedoelde is:

2 = |-2| = V((-2)^2) = ((-2)^2)^(1/2) = (-2)^(2*1/2) = (-2)^1 = -2

[Math Wolf]

((-2)^2)^(1/2) = (-2)^(2*1/2) klopt dan niet meer. De positieve wortel uit het linkerlid krijg je door de negatieve te nemen (en dus een - toe te voegen) aan het rechterlid.

Alleen de laatste alinea uit mijn vorige post geeft dan de oplossing. Je hebt hier gespecifieerd dat je de positieve wortel functie bedoelt.
Dan geldt in de stap in de quote hierboven, dat ^(1/2) de positieve wortel moet geven, bijgevolg moet je corrigeren in het rechterlid om terug een positief resultaat te krijgen.

[Beasty]

Ik vind het toch vreemd dat je achteraf moet corrigeren. Eerder had ik gehoopt op het kunnen aanduiden van een bepaalde `gelijkheid' die dan echter niet geldig zou blijken te zijn, louter op basis van het linker- en rechterlid ervan. M.a.w. zonder een blik hoeven te werpen op het geheel.

Naar mijn gevoel is er iets mis met de derde gelijkheid. Of anders gezegd geldt niet altijd dat V(x) = x^(1/2), (zelfs niet als geweten is dat x > 0). Maar om te weten wat er moet gebeuren, zou men dan een blik moeten werpen op het geheel en dan een correctie toepassen in deze 3e vergelijking ?

[Math Wolf]

Principieel, alleenstaand, zijn al de stappen juist. Je kan ze één voor één nakijken, ze kloppen allemaal. Veel hangt af van hoe je iets definieert.

V((-2)^2) = ((-2)^2)^(1/2) kan fout zijn als je V definieert als de positieve wortel and ^(1/2) als beide wortels.

Maar dit is allemaal een kwestie van notatie en interpretatie. Computerprogramma's geven meestal standaard ook alleen de positieve wortel, of je nu sqrt() of ^(1/2) gebruikt.

Als je elke uitdrukking apart uitrekent, zie je dat je 2 = 2 = 2 (als positieve wortel) = 2 (als positieve wortel) = -2 = -2 = -2 uitkomt. Bijgevolg is mijn redenering dat je moet corrigeren in de vierde ongelijkheid.

[Beasty]

Ok, ik snap wel wat je bedoelt. Maar toch ...

Ergens vind ik het niet bevredigend dat ik een sequentie van stappen heb die principieel correct zijn, maar die toch als resultaat geven dat 2 gelijk zou zijn aan -2.

Op basis daarvan de vierde gelijkheid gaan corrigeren, vind ik nog altijd `vies' Omdat:

het geheel is dan misschien correct, maar in mijn ogen is die vierde gelijkheid dan gewoonweg fout.

Ik dacht altijd dat een machtsverheffing van een machtsverheffing gelijk is aan een machtsverheffing met als exponent het product van de exponenten van de oorspronkelijke twee machtsverheffingen. Iets dat dan niet zomaar nog geldig zou zijn. Want plots zou er dan een minteken uit het niets te voorschijn komen.

[Math Wolf]

Ik dacht altijd dat een machtsverheffing van een machtsverheffing gelijk is aan een machtsverheffing met als exponent het product van de exponenten van de oorspronkelijke twee machtsverheffingen.

Dat is niet zo. Machtsverheffingen zijn functies.

Dit is enkel een gelijkheid als f een bijectie is.

Als je de functies ^2 en ^(1/2) bekijkt, dan zijn die elkaars inverse, maar ze zijn enkel bijectief op . M.a.w., je moet corrigeren als je ze toepast buiten hun bijectief domein (zoals -2). Technisch gezien is dus enkel de 4de stap fout, maar je moet het in de context zien.

[Beasty]

Ah! Dat is het probleem en het soort antwoord waar ik op hoopte. Rekening houdend met die restrictie, zou ik in principe zo'n fout niet meer kunnen maken en wel degelijk door te kijken `stap per stap'.

Bedankt!

Edit: ja en uiteraard bedoel je met die `niet gelijk aan', `gelijk aan', da's een typo.

[Beasty]

Edit 2: door stap per stap te kijken weet ik idd nu dat het niet ZOMAAR geldt, maar je hebt gelijk dat om te weten wat er WEL werkelijk gebeuren moet, men dan verplicht is naar het geheel te kijken.

[Math Wolf]

Edit: ja en uiteraard bedoel je met die `niet gelijk aan', `gelijk aan', da's een typo.

Ik bedoel wel degelijk niet gelijk aan. Dus, voor een algemene f (zoals degene die we hier hebben) die geen bijectie is, hebben we meestal:


Als f een bijectie, dan:

[Beasty]

A
Edit: ja en uiteraard bedoel je met die `niet gelijk aan', `gelijk aan', da's een typo.

Ik bedoel wel degelijk niet gelijk aan. Dus, voor een algemene f (zoals degene die we hier hebben) die geen bijectie is, hebben we meestal:


Als f een bijectie, dan:

Ah ja, op die manier. Ok ik snap het.