Vragen voor Analyse V: Differentiaalvergelijkingen en Functieruimten (Theorie)
1. a) We zagen 3 topologieën op functieuimten. Definieer deze, en geef verbanden.
b) Zij
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chl=f_n : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \text{ continu, } \mathcal{H} := \{f_n | n \in \mathbb{N}\} \text{equicontinu, en } f_n \stackrel{p}{\rightarrow}f)
. Kunnen we dan besluiten dat
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chl=f_n \stackrel{u}{\rightarrow}f)
?
2. Wat weet je over de evaluatie-afbeelding? (de bedoeling hier is de stelling te geven dat als Y lokaal compact en Hausdorff is, dat de evaluatie-afbeelding dan continu is voor de compact-open topologie op de functieruimte)
Geldt dit ook voor de puntsgewijze en/of de uniforme topologie?
3. a) Schets wat je weet over convergentie van machtreeksen.
b) Bewijs de stelling over de convergentiestraal, i.e. dat als
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chl=x \in ]-R,R[ \Rightarrow \sum_n a_nx^n \text{ convergent, } x \in ]-\infty,R[ \cup ]R,\infty[ \Rightarrow \sum_n a_nx^n \text{ divergent.})
c) Bewijs de stelling over:
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chl=\sum_n a_nx_0^n \text{ convergent, } 0 < r < |x_0| \Rightarrow \sum_n a_nx^n \text{ uniform absoluut convergent op }[-r,r])
.
d) We weten dat voor algemene functies geldt:
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chl=\stackrel{u}{\rightarrow} \Rightarrow \stackrel{uc}{\rightarrow} \Rightarrow \stackrel{p}{\rightarrow})
. Beschouw nu de twee gevallen
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chl=\sum_n a_nx^n)
op
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chl=[-r,r])
en
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chl=\sum_n a_nx^n)
op
![](https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chf=bg,s,FFFFFF00&chl=]-r,r[)
. Gelden er in deze gevallen andere implicaties?