Tuyaux 2e bachelor

[Pieter Belmans]

Het grote verzamel-hier-al-je-examenvragen-ter-meerdere-eer-en-glorie-van-het-vader-land-maar-vooral-de-tuyauxtopic. Bij gebrek aan een bestaand topic, of het compleet niet vinden daarvan.

[Pieter Belmans]

Voor analytische topologie:
- leg uit: initiale structuren
- leg uit: lokale compactheid
- vertel een verhaaltje over de fundamentaalgroep van een cirkel

[Stanny]

Ook topologie:
- Convergentie: vertel alles wat je weet. Geef een (niet-triviaal) voorbeeld van een filter. Stel (X,T) een ruimte waarin elke filter naar elk punt convergeert, wat kan je zeggen over de topologie?
- Metriseerbaarheid: wat was het probleem bij metrische ruimten en producten? Hoe hebben we dat nu in topologie opgelost? Geef een voorbeeld van een niet metriseerbare ruimte.
- Wat zijn overdekkingsruimten? Wat is de fundamentele groep van de cirkel? En die van de torus? (+ bewijs fund. groep van product is isomorf met product van fundamentele groepen)

[Stanny]

en nog nen 3e groep topologie:

Lotte zegt:
eerst moest ik puntsgewijze convergentie definiëren
daarna dat voorbeeld met alle filters convergeren naar alle punten
daarna T2 en alle eigenschappen hier equivalent mee en 2 bewijzen
en dan een voorbeeld dat T2 niet bewaard blijft bij quotiënten
en dan de fundamentaalgroep van S2

[Joachim]

Das grappig, die geeft ni dezelfde vragen bij heel de groep (ik was samen met Lotte)

Mijn vragen:
1) Convergentie van rijen volstaat niet in algemene topologische ruimtes. Hoe hebben we convergentie ingevooerd in algemene topologische ruimtes? + Geef eigenschappen van convergentie
Bijvraag: Bewijs eig 2.3 hoofdstuk 3
Bijvraag: Als in een topologische ruimte, de enkele convergente filters de puntfilters zijn en de puntfilters een uniek convergentiepunt hebben. Wat is dan de topologie?

2) Geef de definitie van Hausdorff + eig
Bijvraag:Bewijs eig 2.8 hoofdstuk 5 en geef een stelling waarin we dit resultaat gebruiken
Bijvraag:Bewijs 1.14 hoofdsstuk 6 (had ik gegeven bij de vorige bijvraag)

3)Wat is de fundamentele groep van ?
Leg uit!

Edit: Vraag 2 en 3 zijn wel hetzelfde

[Pieter Belmans]

Lichamen en Klassieke Galoistheorie:
- bespreek factorisatie van priemgetallen over de Gaussgehelen
- geef de drie soorten separabiliteit en bewijs de equivalentie onder de juiste condities
- M een Galoisuitbreiding over K, hieruit volgt (foutief) dat M een Galoisuitbreiding is over L en L een Galoisuitbreiding is over K, verbeter en bewijs

En dan als bijvraag (toen ik vertrok hadden nog maar 3 mensen deze gekregen, dus ik weet niet of ze deel uitmaakte van het reguliere examen dan wel voor iedereen bedoeld was): geef een voorbeeld waar het fixlichaam van de automorfismengroep niet het lichaam is waarover we uitbreiden, dus .

[Joachim]

Lichamen en Klassieke Galoistheorie:
1) Idem als in voormiddag (factorisatie van p in Z)

2)Bewijs dat er een bijectie bestaat tussen tussen alle K-inbeddingen van K(x) in en de wortels van de minimum veelterm van x door deze te construeren

3)Geef de 3 karakterisaties van 'L normaal over K' en bewijs dat ze equivalent zijn

4)L galoisuitbreiding van K met |L| eindig
Wat is dan G(L/K)? Bewijs.

[Pieter Belmans]

Ik heb nooit het grote verschil begrepen tussen de tweede en derde karakterisatie van normaliteit. Ben ik even blij dat ik in de voormiddag mocht . Gek is wel dat jullie vraag 2 ook nog een bijvraag was bij ons, er werd niet enorm diep op ingegaan maar bij inbeddingsseparabiliteit moest er wat over verteld worden.

[Stanny]

Lichamen en Klassieke Galoistheorie:
1) Idem als in voormiddag (factorisatie van p in Z)

2)Bewijs dat er een bijectie bestaat tussen tussen alle K-inbeddingen van K(x) in en de wortels van de minimum veelterm van x door deze te construeren

3)Geef de 3 karakterisaties van 'L normaal over K' en bewijs dat ze equivalent zijn

4)L galoisuitbreiding van K met |L| eindig
Wat is dan G(L/K)? Bewijs.

Ik had nog (omdat ik 4 niet kon): K c L c M algebraische uitbreidingen
M Galois over K => M Galois over L + L Galois over K
verbeter + bewijs

[Joachim]

ja, da weet ik..
Maar had gij echt da deel van eindige lichamen ni geleerd??

[Stanny]

stom vraagske, maar khoop da iemand het nog weet...

bij vraag 2 uit de namiddag, dus waar ge die bijectie moet construeren ... hoe was die ook al weer?
ik weet dat ik het op het examen zelf heb gevonden toen ... maar nu kan ik er echt niet meer opkomen :-S
dus ... Joachim fzo, as ge da nog weet, help me out pls :-S

[Joachim]

Ik denk dat ik het nog ongeveer weet, maar misschien moet ge bij mijne uitleg nog ff uwe cursus bijlegge..

Een K-inbedding van K(x) in stuurt x naar een andere wortel van de minimumveelterm van x,
omdat die de wortels van de minimumveelterm permuteert.
Dus: Stel f een K-inbedding, dan construeert ge zo dat f op f(x) wordt afgebeeld

Dan nog te bewijzen is dat zowel injectief als surjectief is.
Voor de surjectiviteit moet je bewijzen dat voor elke wortel van de minimumveelterm van x een K-inbedding bestaat die x erop afbeeldt.
Dit is, denk ik , bewezen in de cursus

Voor de injectivitieit moet je bewijzen dat die K-inbedding uniek is.
Dit is volgens mij ook bewezen in de cursus.

Ik hoop da het wa duidelijk is

[Stanny]

Een K-inbedding van K(x) in stuurt x naar een andere wortel van de minimumveelterm van x,
omdat die de wortels van de minimumveelterm permuteert.
Dus: Stel f een K-inbedding, dan construeert ge zo dat f op f(x) wordt afgebeeld

dus ... ??

EDIT: heb et ondertussen gevonden merci Joachim ^^

[Stanny]

2e zit Lichamen:

1. Eindige lichamen: we hebben een stelling gezien ivm met de structuur van eindige lichamen, en daarna één waar we dan de Galoistheorie hebben op toegepast. Geef deze stellingen, en bewijs.

SPOILERS - Click here:

1. K lichaam, G c K* eindige deelgroep => G cyclisch

SPOILERS - Click here:

2. L eindige uitbreiding van eindig lichaam K => L Galois over K en G(L/K) cyclisch

2. In het bewijs van 1.2 wordt er gesteund op een stelling ivm een toren van lichamen (Fp c K c L) en Galoisuitbreidingen. Geef de algemene stelling en het bewijs.

SPOILERS - Click here:

K c L c M en M Galois over K => 1. M Galois over L en G(M/L) c G(M/K)
2. L Galois over K <=> G(M/L) normaaldeler van G(M/K)
dit induceert dan een surjectief homomorfisme van f: G(M/K) --> G(L/K) met Ker f = G(M/KL)

3. In dat bewijs wordt er ook gesteund op een vorige stelling (meer bepaald in het stuk over de surjectiviteit: daar wordt gebruikt dat een K-inbedding kan uitgebreid worden tot een K-isomorfisme). Geef deze stelling in de meest algemene vorm en bewijs.

SPOILERS - Click here:

K c L c M algebraische uitbreiding: Elke K-inbedding van L --> <tex>K^a</tex> is uit te breiden tot een K-isomorfisme van M naar M.

4. In het bewijs van 1.2 werd ook gebruikt dat eindige lichamen perfect zijn: Bewijs

SPOILERS - Click here:

K c L algebraïsche uitbreiding, en |K| eindig => L separabel over K