[Analyse IV] Oefeningen

Forum van 2de Bachelor Wiskunde.

Moderator: Praesidium

Caro

Post#16 » Sun Jun 21, 2009 6:42 pm

Je moet je der gewoon even mee bezighouden...

Ik had wel een probleem met 4 van juni 2008: wat bedoelen ze precies met euclidische omgevingen?

En nog iets: bij topologische eigenschappen, oefn 1: de indiscrete. In julie haar notities staat dat bv I A1 is omdat R een omgevingsbasis is. Maar R is toch helemaal niet aftelbaar :s?

User avatar
christophe
Posts: 442

Post#17 » Sun Jun 21, 2009 7:37 pm

R is een element van de omgevingsbasis en 1 is aftelbaar.

En euclidische omg is volgens mij een infinitesemaal interval rond het punt. een infinitesemaal vierkantje dus.

Juni 2008

Vraag 1
a) A3 toch via contradictie
b) Enkel als A bestaat uit disjuncte verzamelingen?

Vraag 2
a) doorsnede van alle E?
b) cfr Lebesguemaat

Vraag 3
?

Vraag 4
Denk je dat die op het examen eigenschappen als T1, dus die we niet gezien hebben in de oefeningen gaat vragen??

Vraag 5
?

Caro

Post#18 » Sun Jun 21, 2009 7:54 pm

ah, ok,

ik zal proberen mijn oplossing te geven, maar ik kan wel geen latex...

a) X en de lege verzameling zijn de enigste delen van FUG die open en gesloten zijn => Er zijn geen andere delen in F en G die ook open en gesloten zijn. X en de lege verzameling zitten echter ook in F doorsnede G => de lege verzameling en X zitten in F en G. => F en G zijn samenhangend.

De reden waarom F en G gesloten moeten zijn is omdat dan F doorsnede G zeker niet leeg is.Als deze leeg zou zijn dan kan je het volgende voorbeeld bv. krijgen:

b) F = even getallen tot bv 50 van N+ =(0,2,4...50)
en G de oneven getallen van N+=)0,1,3... 50(
F U G is samenhangend wat F U G = (0...50) = een interval
F doorsnede G is samenhangend wat de lege verzameling is samenhangend.
F en G zijn echter niet samenhangend, want geen van beide zijn intervallen.

User avatar
christophe
Posts: 442

Post#19 » Sun Jun 21, 2009 8:26 pm

Verdomme die karakterisatie wou ik niet uitproberen.
Dank

Maar voor b)
Waarom is de doorsnede dan zeker niet leeg?
En F U G is toch geen interval dat zijn gewoon alle natuurlijke getallen van 0 tot 50. Huh?

Caro

Post#20 » Sun Jun 21, 2009 8:50 pm

christophe wrote:R is een element van de omgevingsbasis en 1 is aftelbaar.

En euclidische omg is volgens mij een infinitesemaal interval rond het punt. een infinitesemaal vierkantje dus.

Juni 2008

Vraag 1
a) A3 toch via contradictie
b) Enkel als A bestaat uit disjuncte verzamelingen?

Vraag 2
a) doorsnede van alle E?
b) cfr Lebesguemaat

Vraag 3
?

Vraag 4
Denk je dat die op het examen eigenschappen als T1, dus die we niet gezien hebben in de oefeningen gaat vragen??

Vraag 5
?


vraag 1) A3 heb ik gedaan via de eigenschap Adoorsnede(X/B) = A/B
vraag 2) ik weet niet wat je vraagt
vraag 3)Idd, dat is helemaal geen interval, dat was wat te snel van mij... De doorsnede is zeker niet leeg omdat als die wel leeg zou zijn het niet meer samenhangend zou zijn.

Pak dan N en R/N beide tot 50.
Dan is N U R/N = R = interval => samenhangend
N doorsnede R/N = leeg => samenhangend

maar N = (0,1,2,3....50) en
R/N =)0,....,50(
zijn geen van beide samenhangend want het zijn geen van beide intervallen.
vraag 4) neen
vraag 5) heb ik zelf niet opgelost

User avatar
christophe
Posts: 442

Post#21 » Sun Jun 21, 2009 9:12 pm

Vraag 2:

a)Die ene E is dat doorsnede van alle E?
b) cfr Als we in de oefeningen gedaan hebben met de Lebesguemaat
Caro wrote: De doorsnede is zeker niet leeg omdat als die wel leeg zou zijn het niet meer samenhangend zou zijn.

N doorsnede R/N = leeg => samenhangend
?
Moeten die niet gesloten zijn omdat er anders gaten kunnen inzitten?

Caro

Post#22 » Sun Jun 21, 2009 9:25 pm

nee, je snapt me niet.

Als A en B beide dicht zijn en niet leeg, en je weet dat A U B samenhangend is, dan mag A en B natuurlijk niet disjunct zijn, omdat anders A U B te schrijven is als unie van A en B, wat twee niet-lege disjuncte verzamelingen zijn => dan zou AUB niet meer samenhangend zijn.

En mijn voorbeeld is een voorbeeld waarbij je dus wel een lege doorsnede hebt, wat bij twee gesloten verzamelingen nooit zou kunnen.


en voor vraag 2: E is dacht ik gewoon een willekeurige verzameling :s
en idd, analoog aan 1.2.

User avatar
christophe
Posts: 442

Post#23 » Sun Jun 21, 2009 10:06 pm

Caro wrote: a) X en de lege verzameling zijn de enigste delen van FUG die open en gesloten zijn => Er zijn geen andere delen in F en G die ook open en gesloten zijn. X en de lege verzameling zitten echter ook in F doorsnede G => de lege verzameling en X zitten in F en G. => F en G zijn samenhangend.
Ok de rede dat ik dit had laten vallen, Pieter heeft mij er terug op gewezen is dat F U G samenhangend dan wilt dat niet zeggen dat X en de lege enigste open en gesloten delen zijn. Maar dat F U G en de lege de engiste open en gesloten delen zijn. Want als F U G samenhangend is dan moet ge de deelruimte met andere topologie bekijken.

User avatar
christophe
Posts: 442

Post#24 » Sun Jun 21, 2009 10:11 pm

Caro wrote: En mijn voorbeeld is een voorbeeld waarbij je dus wel een lege doorsnede hebt, wat bij twee gesloten verzamelingen nooit zou kunnen.
[0,1]
[2,3]

beide gesloten in de euclidische tpg en doorsnede is leeg? wat?

Caro

Post#25 » Sun Jun 21, 2009 10:37 pm

christophe wrote:
Caro wrote: a) X en de lege verzameling zijn de enigste delen van FUG die open en gesloten zijn => Er zijn geen andere delen in F en G die ook open en gesloten zijn. X en de lege verzameling zitten echter ook in F doorsnede G => de lege verzameling en X zitten in F en G. => F en G zijn samenhangend.
Ok de rede dat ik dit had laten vallen, Pieter heeft mij er terug op gewezen is dat F U G samenhangend dan wilt dat niet zeggen dat X en de lege enigste open en gesloten delen zijn. Maar dat F U G en de lege de engiste open en gesloten delen zijn. Want als F U G samenhangend is dan moet ge de deelruimte met andere topologie bekijken.
ah ja, natuurlijk , :o, fout van mij.
en bij jou voorbeeld is de unie niet samenhangend, ik had het wel over een geval met de gegeven beginvoorwaarden.

Pieter Taels
Posts: 135

Post#26 » Mon Jun 22, 2009 12:06 am

Oef Juni 2009

2) a)
neem gewoon de doorsnede van LA.
A gotisch is een sigma algebra dus is de doorsnede
ook een element van A gotisch. Dat de doorsnede minimaal is is evident.

Aangezien mu monotoon is is de mu(doorsnede LA) kleiner of gelijk aan alle andere maten van E.
Dus wordt het infimum bereikt.

Jullie intellectuele meerdere,
Pieter

Pieter Taels
Posts: 135

Post#27 » Mon Jun 22, 2009 12:39 am

oef 3
eerste puntje

stel F niet samenhangend,
dan bestaan er A,B gesl in F en disjunct zodat AUB=F

gesloten verzamelingen in een gesloten deelverzameling van X zijn gesloten, dus aangezien A deel van F=clF geldt dat A en B ook gesloten zijn in X.

Dan is het wat met complementen spelen om te bewijzen dat A doorsnede (F doorsnede G) gesloten is. Net als B doorsnede (F doorsn G). Beide verzamelingen zijn uiteraard disjunct dus is de unie van de twee gelijk aan F doorsn G. Dus is F doorsn G niet samenhangend --> contradictie.

Dit geldt ook voor G, dus F en G zijn samenhangend.

Ik heb hier nu wel niet de eigenschap gebruikt dat FUG samenhangend is, hmm.

Pieter Taels
Posts: 135

Post#28 » Mon Jun 22, 2009 12:41 am

christophe wrote:Vraag 2:

a)Die ene E is dat doorsnede van alle E?
b) cfr Als we in de oefeningen gedaan hebben met de Lebesguemaat
Caro wrote: De doorsnede is zeker niet leeg omdat als die wel leeg zou zijn het niet meer samenhangend zou zijn.

N doorsnede R/N = leeg => samenhangend
?
Moeten die niet gesloten zijn omdat er anders gaten kunnen inzitten?
goeie tegenvoorbeelden bij 3, caroline! bedankt!

User avatar
christophe
Posts: 442

Post#29 » Mon Jun 22, 2009 12:44 am

Pieter Taels wrote:Oef Juni 2009

2) a)
neem gewoon de doorsnede van LA.
A gotisch is een sigma algebra dus is de doorsnede
ook een element van A gotisch. Dat de doorsnede minimaal is is evident.

Aangezien mu monotoon is is de mu(doorsnede LA) kleiner of gelijk aan alle andere maten van E.
Dus wordt het infimum bereikt.
Dan moet je dus eerst b doen en dan pas a, hmm ik weet niet of dat de bedoeling is. Trouwens ik had dat al gevonden. boehoe

Dat is echt laag Pieter. En vuil.

Return to “2de Bachelor”

Who is online

Users browsing this forum: No registered users and 4 guests

cron