Dit zijn 2 meels naar anneleen waarin heel wat vragen van mij beantwoord werden: (lees van onder naar boven)
-------------
Het antwoord op je eerste vraag is meer een taalkwestie dan een wiskunde-kwestie om het maar zo te zeggen. Als een verzameling A een deel is van verzameling B wordt met "de canonische inbedding van A in B" de meest voor de hand liggende inbedding bedoeld, dus de inbedding die elk elementje op zichzelf afbeeldt. (In het bijzonder geldt dat dus voor de voorbeelden die je aanhaalt met f(X) als A en X' als B.) Het is daarentegen niet uitgesloten dat er nog andere inbeddingen van A naar B zouden bestaan, dus volgens de logica is het niet correct om te spreken over "de inbedding van A naar B". Maar vermits die ene functie daarboven (x afbeelden op x voor elke x in A) een speciaal geval is wordt dat dan de canonische inbedding genoemd.
Algemeen, wanneer het woord "canonisch" gebruikt wordt moet je dit interpreteren als "meest voor de hand liggend / gebruikelijk / ...". Dus de "canonische basis voor de Tychonoff topologie" is de basis "die vanzelf komt", etc.
Het is een beetje lastig om uit te leggen, maar ik hoop dat het bovenstaande je al wat duidelijkheid geeft...
Vraag 2: stel dat X overaftelbaar is, en bekijk de aftelbare complementen-topologie hierop. Neem verder een overaftelbaar deel A, dat niet heel X is. Kies een willekeurig puntje x dat in X\A zit. Dan wordt in dat voorbeeld beweerd dat er geen rij in A kan bestaan die naar x convergeert (hoewel x wel in de afsluiting van A zit, want die is heel X).
Verklaring: stel dat je een rijtje in A hebt (eender welk). Neem al de elementjes die voorkomen in die rij en stop die in een verzameling B. (Dan is B dus een deel van A.) Vermits de elementen van B op een rij gezet kunnen worden is B aftelbaar, dus gesloten voor de gebruikte topologie. ALS nu deze rij naar dat ene puntje x zou convergeren, dan adhereert de rij ook aan x, en vermits de rij helemaal in B zit zou x dan in de afsluiting van B moeten zitten (zie puntjes 1 t.e.m. 3 daarboven die geldig blijven), maar die afsluiting is B zelf. Vermits B een deel is van A is dan ook x een element van A. Maar dit is een contradictie want we hadden x buiten A gekozen. Besluit: de rij kan niet naar x convergeren.
Met vriendelijke groeten,
Anneleen Van Geenhoven
Op 15-jun-09, om 23:48 heeft Taels Pieter het volgende geschreven:
Heel erg bedankt!
Ik had mij zo zitten blindstaren op de sigma-maat regel dat ik niet doorhad dat het veel eenvoudiger kon.
Als u nog tijd hebt heb ik nog twee andere vraagjes waar ik nog mee zit:
Bij de initiale en finale structuren gebruikt u in de oefeningen
de canonische inbedding i: f(X) --> X'
(in het bewijs dat f : X--->X' een inbedding is a.s.a g: X --> f(X) een homeomorfisme is)
Dit wordt ook gebruikt in de theorie bij stelling 3.25 p52
Nu wordt er in de theorie wel gezegd wat een inbedding is maar niet wat een canonische inbedding is.
Is de canonische inbedding iets in de trant van een functie i: f(X) --->X' : x ---> x met daarop
de topologie T={B element v. f(X) | er bestaat een G open in X' zodat B = G doorsn. f(X)}?
Net als bij de definitie van een deelruimte dus maar dan met deelruimte = f(X)?
En hoeft die canonische inbedding iets te maken hebben met de canonische basis voor de Tychonoff topologie
of met de canonische quotiëntafbeelding?
En dan is er nog in hoofstuk 2: convergentie en continuïteit voorbeeld 2.1:
Als je op een overaftelbare ruimte de topologie van de aftelbare complementen zet
wordt er aangetoond dat als een punt x in de sluiting van een overaftelbare verzameling A zit, maar niet
in A zelf, er geen rij in A bestaat die naar x convergeert. Ik heb in mijn cursus iets staan dat het
punt is dat de verzameling van alle elementen van het rijtje gesloten is, maar ik zie het punt er echt niet van in...
Nog eens erg bedankt!
Met vriendelijke groeten
Pieter
--------------------------------------------------------------------------------
Van: Anneleen Van Geenhoven [mailto:
anneleen.vangeenhoven@ua.ac.be]
Verzonden: ma 15/06/2009 13:23
Aan: Taels Pieter
Onderwerp: Re:
Beste Pieter,
Je redenering klopt: je kan de unie en de maat niet zomaar van plaats verwisselen omdat je geen disjuncte verzamelingen hebt.
Wat je wel kan doen is het volgende: als je een vaste k >= 1 hebt geldt zeker dat de doorsnede van de unie van ... een deel is van de unie van de doorsnede van de unie van .... Bijgevolg is de maat van de eerste verzameling kleiner dan of gelijk aan de maat van die laatste unie van doorsnede van unie, en deze maat is nul. Dus moet de eerste maat ook nul zijn.
Laat het gerust weten als er nog verdere vragen zijn!
Met vriendelijke groeten,
Anneleen Van Geenhoven
Op 14-jun-09, om 23:21 heeft Taels Pieter het volgende geschreven:
Beste mevrouw Van Geenhoven
Het gaat over het eerste deel van maattheorie, hoofdstuk 5: convergentiestellingen.
In stelling 5.3 (in onze cursus p22) bewijst prof. Lowen dat convergentie bijna overal
convergentie in maat impliceert.
De rij fn convergeert bijna overal naar f
dus de maat van alle punten x waarvoor fn(x) niet convergeert naar f(x) is nul.
ofwel: mu(unie doorsn unie {f...} )=0
Prof. Lowen schrijft dat dit betekent dat voor elke k >= 1 geldt dat
mu(doorsn unie {f...})=0
Hij heeft dus m.a.w. de unie binnen de maat naar buiten gebracht, dan krijgen we een sommatie. Aangezien de som
0 moet worden en een maat slechts positief of nul kan zijn moet voor elke k de maat dus 0 worden.
Mijn probleem is nu dat je die unie toch alleen maar buiten de maat kan zetten en er een sommatie van maken als de elementen binnen de unie twee aan twee disjunct zijn (sigma M regel)?
En aangezien de punten x waarvoor geldt dat |fn(x)-f(x)|>1/k ook elementen zijn van de
verzameling {x : |fn(x)-f(x)| > 1/(k+1)} zijn deze verzamelingen toch nooit disjunct?
Wat is er verkeerd aan mijn redenering?