[Analyse IV] Lebesque integraal & topologie

[christophe]

lijkt ook logisch dat als een unie verwaarloosbaar is dat de afzonderlijke verz van de unie ook verwaarloosbaar zijn

[christophe]

Zou iemand mij kunnen uitleggen hoe je de bewijsjes van eigenschap 2.25 op pagina 40 moet bewijzen ?
En weet iemand mssn ook hoe je bewijst dat het beeld van een (ultra)filter weer een (ultra)filter is ? Ik zou u superdankbaar zijn!!!

die bewijsjes van beeld en zo moest ge niet kennen

voor 2.25 heb ik er 2

1 --> 2 via vorige eig 1 <--> 4
3 --> 4 Door anti implicatie gewoon via 3

De rest geen idee, als het niet meteen komt dan spendeer ik er geen tijd meer aan

Misschien weet de alwetende Pieter een oplossing

Nog altijd open.

clA is gesloten bewijzen (zit in topologie, niet gesloten gesloten) en is kleinste gesloten die A bevat

EN waarom construeren we de voortgebrachte topologie niet zoals de sigma algebra

Voorbeeld 2.2.1

Ook de Vitali verzameling, de beruchte niet meetbare verzameling die enkel bestaat als je het keuzeaxioma aanvaardt. Even mierenneuken. Waarom ]0, 1] en niet [0, 1]. Bij mij staat er iets van 'anders dubbele punten' maar ik geraak er niet uit.

DANK DANK

[Julie]

Hey, merci al Christophe voor de bewijsjes, maar dat van een beeld van een (ultra)filter is weer een (utra)filter moeten we denk ik wel kennen, heb het twee maal in mn notities ergens bijgeschreven dat we dat zelf als oefening moesten maken ...
Over jou vraagjes moet ik nog eens nadenken!

[Caro]

Als dat eigenschap 2.21 is dan staat er bij mij bij dat je dat bewijs niet moet kennen, enkel de eigenschap zelf.

[Pieter Taels]

Kan iemand mij het tegenvoorbeeld uitleggen
van waarom convergentie in L2 geen convergentie bijna overal impliceert?

Dank!

[Pieter Taels]

stelling 3.3:

fi
X -------->Yi
^ ^
| -
| g -
| - fi*g
| -
| -
Z-

X is initaal als en slechts als g ctu is als en slechts als fi*g ctu is. Maar geldt dit niet voor elke topologie die fi continu maakt? Dit geldt toch ook als X niet de grofste topologie is?[/img][/code]

[christophe]

Voor 1 --> 2 OK
Voor 2 --> 1 ook OK maar het kan sterker, namelijk als je zegt stel T' grovere dan volgt dat T = T'
dus T van (2) is altijd de grofste en dit komt juist overeen met initiaal zijn.

Mocht ik het fout hebben, blijf dan beleefd aub Pieter.

[Julie]

Als tegenvoorbeeld dat convergentie in L2 --> convergentie b.o. niet klopt hebben we het volgende gedaan:
Je kiest een een rij functies op [0,1] waarvan de eerste 1 is, de tweede van [0,1/2] = 1, en van ]1/2,1] = 0, de derde van [0,1/4[ = 1, en daarna nul enzovoorts.
Dan krijg je een rij functies waarvoor de oppervlakte onder de integraal achtereenvolgens gelijk is aan (1,1/2, 1/2, 1/4, 1/4, 1/4 ,1/4, ...), dus 1x1, 2x1/2, 4x1/4, ...
Dit convergeert in L² naar 0
Als het b.o. moet convergeren naar nul moet je de punten afzonderlijk bekijken, maar die zijn dan bv (1,0,1,0,0,1,0,0,0,...) wat niet naar nul convergeert. Ik hoop dat dit een beetje juist en duidelijk uitgelegd is want zonder grafiekje is dat ook al niet zo simpel!

[christophe]

huh? als ik het goed begrijp maak je een rij functies
door de cte 1 functie op het interval 0,1 steeds in 2 te kappen?

dus dan krijg je een rij integralen
(1,1/2,1/4,..) = (1/n)n>0

en de integraal van f is dan nul

en de norm in L2 is dan 1/n dat dus naar nul gaat met stijgende n

bij b.o is de verzameling van punten wiens functiewaarde niet naar nul convergeren toch verwaarloosbaar? huh?

[christophe]

p 45 Ik kan niet deftig bewijzen waarom B een basis is voor de producttopologie.

Ik wou de karakterisatie op p.39 1.6 gebruiken, maar ik kom er niet goed uit en ik begrijp ook niet waarom er bij staat dat voor een eindig aantal indices Ai niet de ruimte Xi hoeft te zijn.

[christophe]

Ik heb een voorbeeld in mijn notas over producten met Xi = R voor alle i

en dan staat er zo ergens puntsgewijze convergentie is convergentie in producttopolige en nog een vage uitleg met een tekening van een functie een geprojcteerd stukje

volgens mij hoort het bij 3.10

Pieter of iemand anders, heb je betere nota's daarover? stuur ze dan aub door

[christophe]

Een deelruimte is toch homeomorf met de ruimte huh? In de cursus staat een deelruimte is homeomorf met een deelruimte?

en in 3.12 is die afbeelding , noem hem j, ctu omdat
pri ° j = fi ?

en 3.13
2
<--
pri is toch initiaal voor de product topologie?

Ik heb een voorbeeld met de Sierpinski ruimte

dus karakteristieke functies van alle verzamelingen van een of ander topologische ruimte naar de Sierpinski ruimte

dat is een source en initiaal voor alle topologische ruimten?

[Pieter Taels]

huh? als ik het goed begrijp maak je een rij functies
door de cte 1 functie op het interval 0,1 steeds in 2 te kappen?

dus dan krijg je een rij integralen
(1,1/2,1/4,..) = (1/n)n>0

en de integraal van f is dan nul

en de norm in L2 is dan 1/n dat dus naar nul gaat met stijgende n

bij b.o is de verzameling van punten wiens functiewaarde niet naar nul convergeren toch verwaarloosbaar? huh?

Heel erg bedankt, Julie!
Het zit zo christophe, Julie was niet helemaal volledig:
f1 = 1 op (0,1)
f2 = 1 op (0,1/2); 0 op (1/2,1)
f3 = 0 op (0,1/2); 1 op (1/2,1)
f4 = 1 op (0,1/4); 0 op (1/4,1/2); 0 op (1/2,3/4); 0 op (3/4,1)
f5 = 0 op (0,1/4); 1 op (1/4,1/2); 0 op (1/2,3/4); 0 op (3/4,1)

enz. enz., nu klopt het wel!

sorry christophe, maar mijn notities zijn sowieso nog veel zieliger dan die van jou!

Bij daar die tychonoff basis weet ik niet of het in de cursus helemaal correct staat. de elementen van de tychonoff basis zijn eindige doorsneden over i van fi^-1(Gi), met Gi een element van Tau i. Als i niet in de eindige doorsnede zit gaat het om Xi. Dit is een rommelige uitleg, kijk naar het bewijsje 3.10 (1), dan wordt het duidelijk!

[Pieter Taels]

volgens mijn cursus moet je 3.11 en 3.12 niet kennen

[Pieter Taels]

Een deelruimte is toch homeomorf met de ruimte huh? In de cursus staat een deelruimte is homeomorf met een deelruimte?

en in 3.12 is die afbeelding , noem hem j, ctu omdat
pri ° j = fi ?

en 3.13
2
<--
pri is toch initiaal voor de product topologie?

Ik heb een voorbeeld met de Sierpinski ruimte

dus karakteristieke functies van alle verzamelingen van een of ander topologische ruimte naar de Sierpinski ruimte

dat is een source en initiaal voor alle topologische ruimten?

hoe kan een deelruimte nu homeomorf zijn met een ruimte? Dan zou de deelruimte evenveel elementen moeten bevatten als de ruimte.