WINAK

Posted: **Sat Feb 24, 2007 8:11 pm**

Hoe bewijs je volgende stelling?

Stel $(X,d)$ een metrische ruimte, $x \in X$ en $(x_{n})_{n}$ en $(y_{n})_{n}$ twee equivalente rijen in X. Dan geldt : $x_{n} \dashv x \Leftrightarrow y_{n} \dashv x$

Posted: **Sat Feb 24, 2007 8:39 pm**

Ik doe dus maar éne pijl,

stel dat $x_n \dashv x$ en dat $x_n$ en $y_n$ equivalente rijtjes zijn.

Kies dan $\eps > 0$ willekeurig, dan kunnen we stellen voor een zekere $n_0, \forall n > n_0$ geldt:

$d(x_n, y_n) < \frac{\eps}{2}$

ook kunnen we stellen dat $\forall m, \exists p > m$ zodat

$d(x_p, x)< \frac{\eps}{2}$

Kies nu voor $m$ , $n_0$ en de driehoeksongelijkheid geeft dan voor uw $p$ :

$d(x_p, y_p) d(x_p, x) < \frac{\eps}{2} \frac{\eps}{2}$

wat kleiner is dan (door uw driehoeksongelijkheid)

$d(y_p, x) < \eps$

Waaruit ge dus kunt concluderen dat $y_n \dashv x$ .

Het bewijs klopt zeker, ik ben misschien wat rommelig met mijn indices, wat ongelukkig gekozen misschien. Maar ik heb bewezen dat voor elke $\eps$ een $p$ kan vinden zodat mijn $y_p$ dicht genoeg bij mijn adherentiepunt $x$ komt.

WINAK

Convergentie van rijen

Convergentie van rijen