Post#2 » Wed Jul 01, 2009 11:19 pm
Het keuzeaxioma
Een axioma in de wiskunde is een stelling die algemeen aanvaard wordt (en bijgevolg niet bewezen). Elke wiskundige theorie is gebaseerd op een aantal axioma's. De meetkunde zoals wij ze kennen is bijvoorbeeld gebaseerd op 6 axioma's waaronder "door twee punten loopt precies 1 lijn."
Het keuzeaxioma is een ietwat controversiële stelling die als axioma gebruikt wordt in bepaalde delen van verzamelingenleer, algebra en topologie.
Het keuzeaxioma zegt dat uit een collectie niet-lege verzamelingen, het mogelijk is om uit elke verzameling een element te kiezen.
Aangezien het enkel zegt dat dit bestaat, maar niet hoe dit gedaan kan worden, zijn stelling gebaseerd op het keuzeaxioma evenmin constructief. Je kan enkel bewijzen dat iets bestaat of mogelijk is, niet hoe je het kan creëren. Dit is één van de redenen waarom het keuzeaxioma controversieel is.
Een andere argument tegen het axioma is de Banach–Tarski paradox. Die stelt, gebruik makend van het keuzeaxioma, dat een massieve bol kan opgesplitst worden in oneindig veel stukken die op hun beurt terug in elkaar kunnen worden gezet tot 2 bollen die ieder exact hetzelfde volume hebben als de oorspronkelijke bol.
Nochtans lijkt het axioma triviaal, maar dat is het niet als die collectie verzamelingen niet eindig, maar aftelbaar oneindig is, zoals in het voorbeeld van de Banach-Tarski paradox.
Aftelbaar oneindig kan geïnterpreteerd worden als de natuurlijke getallen. Je kan oneindig verdergaan, maar je kan wel "tellen", dit in tegenstelling tot de reële getallen waar dit niet mogelijk is (tussen 0 en 1 zitten eveneens oneindig veel getallen).
Ondanks dat het omstreden is, werd het axioma meermaals gebruikt in verschillende vakgebieden en zou onze wiskunde er heel anders uitzien zonder dit axioma.
2014: Jan16, Feb15, Mar16, Apr15, May14, Jun13, Jul12, Aug10, Sep9, Oct8, Nov6, Dec6
2015: Jan5, Feb5, Mar5, Apr4, May4, Jun2, Jul2, Jul31, Aug29, Sep28, Oct27, Nov25, Dec25