Een uitdaging!

Foundation · Post #1 » Tue Feb 13, 2007 2:34 pm

Geachte wiskundigen,

zit ik toch wel met een klein probleemke in mijn thesis zeker. Ik heb de opdracht gekregen een algoritme helemaal uit te werken dat was samengevat in de een of andere doctoraatsthesis. In een bepaald stuk van de bewijsvoering zit ik echter strop. Een gevolgtrekking is nogal kort door de bocht, dus ik moet dat verder uitwerken, maar ik zie even door de bomen het bos niet meer (of door het bos de bomen, whatever)

Gegeven: een discreet signaal $x_n$ van lengte N, en een benadering daarvan die gedefinieerd is als volgt:

$\tilde{x}_n = w_n \sum_{k=0}^{K-1} ( A_k^r cos ( \frac{2 \pi \omega_k (n-n_0) }{N} ) - A_k^i sin ( \frac{2 \pi \omega_k (n-n_0) }{N} ) )$

met: $w_n$ (w, niet omega) een gewone ('window') functie van n,
$A_k^r$ en $A_k^i$ de notatie voor het reële resp. imaginaire gedeelte van een complexe amplitude $A_k$ , $\omega_k$ (wel omega deze keer) de frequenties, $n_0$ een verplaatsing van het nulpunt naar het midden van het signaal in het tijdsdomein om een zero-phase response transformatie mogelijk te maken (maar dat doet er eigenlijk niet toe).

Dit komt neer op een benadering in het frequentiedomein, met K verschillende frequenties (K is eindig). Elk van deze frequenties heeft dan complexe amplitude $A_k = A_k^r i A_k^i$

De bedoeling is om, gegeven de frequenties $\omega_k$ , voor elke frequentie de optimale complexe amplitude $A_k$ te vinden. Hiertoe moet het kwadratisch verschil van het echte signaal en de benadering geminimaliseerd worden. Het kwadratisch verschil is gedefinieerd als een errorfunctie:
$\chi(\overline{A}; \overline{\omega}) = \sum_{n=0}^{N-1} ( x_n - \tilde{x}_n)^2$

Om deze errorfunctie te minimaliseren, zoeken we waar de partiële afgeleiden naar de onbekenden (dit zijn alle $A_l^r$ en $A_l^i$ uit $\overline{A}$ ) 0 zijn. Dus:

$\begin{eqnarray} \frac{\partial \chi(\overline{A}; \overline{\omega}) }{\partial A_l^i} = 0 \\ \frac{\partial \chi(\overline{A}; \overline{\omega}) }{\partial A_l^r} = 0 \end{eqnarray}$

En nu zit ik dus vast. Volgens dat doctoraat moet de eerste van deze partiële afgeleiden uiteindelijk neerkomen op de volgende draak van een vergelijking (volledig vergroten om goed te kunnen zien:

$\begin{equation} \sum_{k=0}^{K-1} ( A_k^r \sum_{n=0}^{N-1} ( w_n^2 cos ( 2 \pi \omega_k \frac{n-n_0}{N} ) cos ( 2 \pi \omega_l \frac{n-n_0}{N} ))) - \sum_{k=0}^{K-1} ( A_k^i \sum_{n=0}^{N-1} ( w_n^2 sin ( 2 \pi \omega_k \frac{n-n_0}{N} ) cos ( 2 \pi \omega_l \frac{n-n_0}{N} ))) = \sum_{n=0}^{N-1} ( x_n w_n cos ( 2 \pi \omega_l \frac{n-n_0}{N} )) \end{equation}$

Ik moet dus nagaan dat het klopt, maar hoe moet ik nu bij het resultaat hierboven geraken? Waarbij gezegd moet worden: het signaal is eindig van lengte en de benadering bevat een eindig aantal frequenties en amplitudes, maar de variabelen $A_k^r$ en $A_k^i$ zijn continu dus het partieel afleiden moet wel kunnen.

Iemand die me in de goede richting kan wijzen? (Ik ben content met enkele suggesties, ge moet het werk natuurlijk niet in mijn plaats doen...)

Math Wolf · Post #2 » Tue Feb 13, 2007 3:02 pm

Ik heb het even nagekeken.

Zover ik weet, pas je gewoon de kettingregel toe en krijg je inderdaad die "draak" die jij zegt (weliswaar op een constante na als ik juist heb gerekend) voor de reële afgeleide.

Ik zie dus niet echt waar het probleem is.

EDIT: waar de laatste gelijkheid, dus die binnen de "draak" vandaan komt, begrijp ik echter niet.

WINAK

Een uitdaging!

Een uitdaging!

Who is online