Merci, had ik niet gemerkt zelfs .christophe wrote:Hier zijn al mijn vragen tot nu toe: (soms geef ik zelf een antwoord maar ben er dus niet altijd 100% zeker van)
1) (2.1) z_j moet inwendig zijn zodat je de limiet kan nemen? en waarom moet f analytisch zijn op de rand van C; als je de randblokjes enorm klein maakt dan kan z_j ook op de rand liggen??
Idd, je moet de limiet kunnen nemen, maar ook omdat je anders geen vakjes rond z_j kan beschouwen en er kringintegraaltjes rond kan berekenen denk ik. En als f niet analytisch is op C zelf, kun je voor alle vakjes langs de rand niet zeggen dat de kringintegraal daar nul wordt (zoals in vgl 2.6).
2) oef1. vraag 6) dus de hoogtelijnen van u en v staan loodrecht op elkaar; Je kan dit bewijzen doordat de gradienten van u en v in elk punt loodrecht op elkaar staan. Het bewijs in de les; dus als je de hoogtelijn doorloopt dan doorloop je een curve op het xy vlak; wij hebben volgens mij de rico van de rakende rechte in een punt van die curve berekent voor u en voor v. Ok ik heb het antwoord gevonden: scalair product van (ax ,x)*(bx,x) = abx²+x²=0 als ab=-1 (nulvector telt niet mee)
Idd, het product van hun richtingsvectoren moet -1 zijn om de rechten loodrecht te laten staan, dit is wat we hebben bewezen.
Trouwens het bewijs van de stelling van Weierstrass of poging tot: eerst bekijk je de modulus van het verschil tussen 2 punten van de reeks; dan kan je dus uniforme Cauchy convergentie bewijzen en 1 index naar oneindig laten gaan voor uniforme convergentie. (OK?)
Ik denk het wel, anders eens checken in Analyse I, daar hebben we dat denk ik ook bewezen.
3) oef3 1) laatste; Im(z)=0 dan cosinus begrensd (anders zit er in de modulus een divergerende cosh(ny) met y=Im(z)) dus convergent (convergentie domein is reële as)
Idd, convergent op de reële as. Ik heb die ook gemaakt, maar die staat op de achterkant van het blad net voor de opln van WB 4. (Moest ge mijn oefn hebben...) Ge kunt die cos als e-machten schrijven, dan de som splitsen in 2 sommen, dan ziet ge dat enkel voor y = 0 de reeks convergeert dus Im(z) = 0 idd.
4)oef3 2) c) nulde orde pool zin z=0?
Ik denk idd omdat die singulariteit van teller en noemer wegvallen t.o.v. elkaar dat dat een nulde-orde pool is (eigenlijk geen echte singulariteit dus).
5)oef3 3) vrij simpel met integraal representatie + Darboux buiten dan het feit dat voor de integraalrepresentatie f ook analytisch moet zijn op het contour zelf(of wat bedoelt die met binnen de cirkel..waars ook op de cirkel zeker)
6)oef3 4) Herschrijf met +- absolute reeks; met dan u_n + |u_n| < 2|u_n| dus de reeks is kleiner of gelijk aan de absolute reeks
7)oef4 5) vrij simpel gewoon 1/R^6 (k=6) afzonderen en dan is het overblijfende deel gelijk aan M=1 (voor R voldoende groot)
Waarom moeten polen geisoleerd zijn? Omdat er dan een kringintegraal rond 1 pool mogelijk is? (want dan bestaat er een omgeving rond waar geen punt zit van C, zodat 2 polen nooit te dicht bij elkaar kunnen kruipen..
Ik denk het ja.
9)Heaviside voorstelling? deze is niet gedefinieerd voor a=0?
Nee eigenlijk niet gedefinieerd in a=0 (heb ik er bijgeschreven staan van in de les). Per conventie wordt daar dan soms 1/2 genomen. In de definitie staat wel voor a groter of gelijk aan nul is de functie 1. Maar dat is mssn ook conventie dan?
10)Convergentie van de Laurentreeks. Voor het singuliere deel. In de platte donut is de reeks begrensd per definitie; de reeks is immers gelijk aan f(z) en deze is analytisch in dit gebied. Je kan bewijzen dat |b_n|<M r^n met r in de donut dan kunt ge schrijven dat de modulus van 1 term van de reeks kleiner is dan M*de rede van de meetkundige reeks.. die enkel convergeert als |z-z0|>r, dus kies r=R2 De reeks voldoet dan aan de Weierstrass test..en is dus absoluut en uniform convergent.
11)p.206 We hebben dit uitgewerkt in de oefeningen blad 8 3) en volgens mij is op p.206 ten eerste max fout, het moet min zijn en de plot is ook fout!
Ja idd, en dit was eigenlijk ook ongeveer de integraal die wij hadden op de 2de taak vastestof. Toen had ik niet gezien dat die hier stond
12)p107 7.48 moet -2 pi i zijn? voor theta in 0 tot 2pi en x positief reel: x+ie = |x|exp(ie); x-ie = |x|exp(i(2pi-e))
Ook bedankt voor uw uitleg van die oefn op Matsubara sommaties, zal ze morgen nog eens bekijken!