complexe analyse

Forum van 1ste Master en 2e Master Fysica.

Moderator: Praesidium

deW
Posts: 1

complexe analyse

Post#1 » Mon Jan 10, 2011 8:58 pm

Eerste vraag over complexe, jochei!

In de tuyeaux staat meermaals de volgende vraag:
Geef de definitie van analyciteit. Lijst dan zoveel mogelijk equivalente eigenschappen op
van analyciteit, met andere woorden, vul de deze zin aan op zoveel mogelijk manieren:
Een functie f is analytisch in het ganse enkelvoudig verbonden domein D enkel en alleen
indien. . .
Bewijs één van die equivalenties naar keuze.
Nu heb ik zelf (samen met inge) al de volgende gevonden:
-stelling van Morera (dat de kringintegraal nul wordt)
-Er bestaat een tayloronwikkeling van f binnen D en D is uniform continu.

De vraag was of er nog eigenschappen zijn die equivalent zijn met analyticiteit?

Mornië
Posts: 190

Re: complexe analyse

Post#2 » Tue Jan 11, 2011 2:48 pm

Nog een vraagje: voor zo die begrippenlijst, ik heb wat moeite met genererende functie en Matsubara sommatie te omschrijven. Ik zou iets in deze zin schrijven, maar vind persoonlijk dat het op niet veel trekt.

Genererende functie is een functie die ons in staat stelt om andere functies (zoals bvb Legendre polynomen) te genereren doordat we ze kunnen afleiden (zie pagina 34)

Matsubara sommatie = gebruiken van een hulpfunctie met simpele polen in z = iw (de matsubar frequentie) zodat via de residustelling over deze frequenties gesommeerd kan worden (en die wouden we juist kunnen berekenen)

Mornië
Posts: 190

Re: complexe analyse

Post#3 » Wed Jan 12, 2011 10:38 am

misschien even ter informatie, ik en W hebben morgen examen dus antwoorden heeft enkel vandaag nut xd

Mornië
Posts: 190

Re: complexe analyse

Post#4 » Wed Jan 12, 2011 11:29 pm

humz voor de mensen die struikelen over de vergelijking (1.42) op bladzijde 16 is de meest mogelijk verklaring die ik kan geven de volgende (op aanvraag van Julie):

Om van (1.41) naar (1.42) over te gaan moet je van de uitdrukking bij (1.41) afgeleiden maken. Hiervoor moet je alleszins al delen door delta x. Daarom vermenigvuldig je bij (1.42) met delta x. Daarna moet je ook een limiet nemen voor (bijvoorbeeld delta x naar 0). Aangezien de functie continu partieel afleidbaar is weet je dat die gaat convergeren naar een klein getalletje, bijvoorbeeld epsilon. Om goed te maken voor het feit dat je een limiet beschouwd moet je dan epsilon (maal dan nog eens delta x) er nog bij tellen. Jullie weten dat mijn analyse kennis niet alles is maar dit is wat ik ervan maakte. Bollebozen, please correct me if I'm wrong maar misschien helpt dit al op weg.

Volgens Tobias klopt het \o/ als je bij (1.42) beide leden deelt door delta x dan heb je de definitie van de afgeleide zonder de limiet en omdat je die limiet niet neemt moet je dus een correctie doen door plus epsilon te doen :)

Mornië
Posts: 190

Re: complexe analyse

Post#5 » Thu Jan 13, 2011 1:26 pm

In de poging om het examen te reconstrueren (heb het afgegeven)

Begrippen (op acht punten) :
1. .......... (weet gij dit nog W?)
2. digamma functie
3. essentiële singulariteit
4. stelling van cauchy liouville
5. cauchy riemann voorwaarde
6. Matsubara sommaties
7. Laplace transformaties
8. rieman-zeta functie
9. Orde van een vertakkingspunt
10. laurentreeks

Vraag 2 (op vier punten)
Bewijs de integratieformules van cauchy en leg uit waarom ze belangrijk zijn voor de genererende functies

Vraag 3 (op vier punten)
reeksontwikkeling van differentiaalvergelijking: hoe weet je via frobenius welke oplossing je krijgt en wat moet je doen als je tweede oplossing niet zo goed uitkomt (fuchs theorema, wronskiaan zever gewoon stappenplan schrijven, niets uitwerken)

vraag 4 (op vier punten)
spiegelingsformule van euler voor de gammafunctie bewijzen

Pieter Taels
Posts: 135

Re: complexe analyse

Post#6 » Thu Jan 13, 2011 8:40 pm

Mm, ja bij p. 15 enzo komt het erop neer dat er van beide leden de limiet van deltax en deltay naar nul wordt genomen, en dat die limiet de hele afleiding lang moet blijven staan, hij is gewoon te lui/slordig die te blijven schrijven.

Hetzelfde geldt voor die epsilon en delta: de limieten naar nul moeten overal staan maar worden niet geschreven

Pieter Taels
Posts: 135

Re: complexe analyse

Post#7 » Thu Jan 13, 2011 8:42 pm

f is ook afleidbaar wanneer het aan de cauchy-riemann vwdn voldoet binnen D
en u(x,y) en v(x,y) ctu partieel afl. zijn.

Als f bovendien enkelvoudig is --> f is analytisch

Mornië
Posts: 190

Re: complexe analyse

Post#8 » Fri Jan 14, 2011 12:32 am

das dus te laat hé Pieter :) en had daar ook wel aan gedacht maar vond dat nogal triviaal omdat je dan eerder over afleidbaarheid spreekt dan over analyciteit allez op zich kunnen we elke stelling da we ooit gezien hebben over afleidbaarheid erin steken en dan enkelwaardigheid er bij rammen :p

Pieter Taels
Posts: 135

Re: complexe analyse

Post#9 » Fri Jan 14, 2011 12:48 pm

Oei, datum verkeerd gelezen! Dacht dat je vandaag examen had.
Is het goed gegaan?

User avatar
Julie
WOZ
Posts: 527

Re: complexe analyse

Post#10 » Fri Jan 14, 2011 3:39 pm

Ik heb een vraag bij de oefeningen, WB 9:

- Heeft er iemand oef 1 afgewerkt en bewezen dat die integraal naar nul gaat?

- Ik snap niet veel van oefening 2, en heb het gevoel dat ik zowel a als b fout heb opgeschreven. Zit me er al heel lang op blind te staren, en vroeg me af of iemand me kan vertellen welk contour we hebben gekozen (zowel bij a als b), dat die integraal nul wordt, of er geen min moet staan voor dat residu, en hoe je dan wel dat residu berekent?? Bij a heb ik niets uitgerekend, en bij b zie ik niet eens wat we gedaan hebben. Ik zou denken dat je 1/(2ia) krijgt als je dat residu berekent ipv 1/(ia)...

- Moest er iemand c of d kunnen, zou die mij dat dan please kunnen uitleggen?

Ik dacht dat je algemeen had:
Integraal = Som (residu's cotg) + Som (residu's f(z)) + Som (residu's van polen die zowel van f(z) als cotg zijn)

En je kiest je contour zo, dat Som (residu's cotg) zo goed mogelijk lijkt op de reeks die je moet bepalen.

Ik dacht dat je voor de eerste oefn, omdat je som vanaf 1 begint, je dus een contour moest kiezen dat eruit ziet als een oneindig vierkant met linkerzijde de imaginaire as (dus heel het rechterhalfvlak eigenlijk), maar dan een klein kringetje rond nul maken...
*La sagesse, c'est d'avoir des rêves suffisamment grand, pour ne pas les perdre de vue quand on les poursuit.* (Oscar Wilde)

Mornië
Posts: 190

Re: complexe analyse

Post#11 » Fri Jan 14, 2011 3:41 pm

het was wel sava :)
(hoe kon ik nu ooit de examenvragen online zetten als ik het examen nog niet gedaan had :p :idea: )

Seg doen we geen beurtrol voor die extra oefeningen van complexe? Als iedereen er een paar maakt en op het forum zet dan verliest niemand er super veel tijd aan...

Caro

Re: complexe analyse

Post#12 » Sat Jan 15, 2011 8:56 am

Ik maak mijn oefeningen pas donderdagavond, dus ik doe niet mee.
Ik heb nu niet zot veel tijd voorde theorie.

User avatar
Julie
WOZ
Posts: 527

Re: complexe analyse

Post#13 » Sat Jan 15, 2011 11:09 am

Ik zit nog met een vraag bij een oefening:

Oefening f van WB 7 (die we tijdens de laatste les als herhalingsoefening hebben gemaakt).
Ik heb voor dat residu geschreven dat je moet afleiden naar z, maar we hebben toch 3 eerstegraads polen (dus niet afleiden, toch?), en ik kom ook niet op dat residu van 1/3.exp(-2i pi/3)
Heeft iemand anders hetzelfde probleem?
*La sagesse, c'est d'avoir des rêves suffisamment grand, pour ne pas les perdre de vue quand on les poursuit.* (Oscar Wilde)

User avatar
christophe
Posts: 442

Re: complexe analyse

Post#14 » Sat Jan 15, 2011 5:41 pm

Julie wrote:Ik heb een vraag bij de oefeningen, WB 9:

- Heeft er iemand oef 1 afgewerkt en bewezen dat die integraal naar nul gaat?
Door het speciaal contour ontwijkt ge alle polen. Wij hebben bewezen dat |cot(pi*z)| op het contour begrensd is. Nu kunt ge nuttige stelling 1 gebruiken.
Julie wrote:- Ik snap niet veel van oefening 2, en heb het gevoel dat ik zowel a als b fout heb opgeschreven. Zit me er al heel lang op blind te staren, en vroeg me af of iemand me kan vertellen welk contour we hebben gekozen (zowel bij a als b), dat die integraal nul wordt, of er geen min moet staan voor dat residu, en hoe je dan wel dat residu berekent?? Bij a heb ik niets uitgerekend, en bij b zie ik niet eens wat we gedaan hebben. Ik zou denken dat je 1/(2ia) krijgt als je dat residu berekent ipv 1/(ia)...
- Moest er iemand c of d kunnen, zou die mij dat dan please kunnen uitleggen?
Voor a) zie mijn mail over Matsubara sommaties. Schrijf eerst als een sommatie van -inf tot inf zonder n=0. Vervolgens kunt ge op die som "mijn" formule toepassen. Btw er staat een schrijffout in "mijn" formule, namelijk de 2de som over de residus loopt over polen gedeeld door f(z)cotg(pi*z) in C. (dat is hier dus juist die pool in n=0)
De oplossing voor a) = pi²/6 (residu met laurentreeks doen best, of ge kunt ook 6 keer Hopital doen glhf :)

Voor b) gebruikt ge gewoon de formule uit de cursus en ge rekent dus het residu uit in z=/pm ia.
oplossing: -pi/a coth(pi*a)

Voor c) gebruikt ge b)= 2*c) + 1/a²
Ge kunt ook a) vinden door hiervan de limiet gaande naar a=0 te nemen, maar wederom een biljoen keer Hopital is niet plezant

Voor d) gebruikt ge niet de cotg(pi*z) maar sin(pi*z) (bekijk uw notities over Matsubara sommaties; dit was de eerste poging tot de constructie van de reeks adhv residus) want het residu in z=n van pi*f*sin is juist (-1)^n f(n)
oplossing: pi²*cos(pi*a)/sin²(pi*a)

User avatar
christophe
Posts: 442

Re: complexe analyse

Post#15 » Sat Jan 15, 2011 8:17 pm

Hier zijn al mijn vragen tot nu toe: (soms geef ik zelf een antwoord maar ben er dus niet altijd 100% zeker van)

1) (2.1) z_j moet inwendig zijn zodat je de limiet kan nemen? en waarom moet f analytisch zijn op de rand van C; als je de randblokjes enorm klein maakt dan kan z_j ook op de rand liggen??

2) oef1. vraag 6) dus de hoogtelijnen van u en v staan loodrecht op elkaar; Je kan dit bewijzen doordat de gradienten van u en v in elk punt loodrecht op elkaar staan. Het bewijs in de les; dus als je de hoogtelijn doorloopt dan doorloop je een curve op het xy vlak; wij hebben volgens mij de rico van de rakende rechte in een punt van die curve berekent voor u en voor v. Ok ik heb het antwoord gevonden: scalair product van (ax ,x)*(bx,x) = abx²+x²=0 als ab=-1 (nulvector telt niet mee)

Trouwens het bewijs van de stelling van Weierstrass of poging tot: eerst bekijk je de modulus van het verschil tussen 2 punten van de reeks; dan kan je dus uniforme Cauchy convergentie bewijzen en 1 index naar oneindig laten gaan voor uniforme convergentie. (OK?)

3) oef3 1) laatste; Im(z)=0 dan cosinus begrensd (anders zit er in de modulus een divergerende cosh(ny) met y=Im(z)) dus convergent (convergentie domein is reële as)

4)oef3 2) c) nulde orde pool zin z=0?

5)oef3 3) vrij simpel met integraal representatie + Darboux buiten dan het feit dat voor de integraalrepresentatie f ook analytisch moet zijn op het contour zelf(of wat bedoelt die met binnen de cirkel..waars ook op de cirkel zeker)

6)oef3 4) Herschrijf met +- absolute reeks; met dan u_n + |u_n| < 2|u_n| dus de reeks is kleiner of gelijk aan de absolute reeks

7)oef4 5) vrij simpel gewoon 1/R^6 (k=6) afzonderen en dan is het overblijfende deel gelijk aan M=1 (voor R voldoende groot)

8) Waarom moeten polen geisoleerd zijn? Omdat er dan een kringintegraal rond 1 pool mogelijk is? (want dan bestaat er een omgeving rond waar geen punt zit van C, zodat 2 polen nooit te dicht bij elkaar kunnen kruipen..

9)Heaviside voorstelling? deze is niet gedefinieerd voor a=0?

10)Convergentie van de Laurentreeks. Voor het singuliere deel. In de platte donut is de reeks begrensd per definitie; de reeks is immers gelijk aan f(z) en deze is analytisch in dit gebied. Je kan bewijzen dat |b_n|<M r^n met r in de donut dan kunt ge schrijven dat de modulus van 1 term van de reeks kleiner is dan M*de rede van de meetkundige reeks.. die enkel convergeert als |z-z0|>r, dus kies r=R2 De reeks voldoet dan aan de Weierstrass test..en is dus absoluut en uniform convergent.

11)p.206 We hebben dit uitgewerkt in de oefeningen blad 8 3) en volgens mij is op p.206 ten eerste max fout, het moet min zijn en de plot is ook fout!

12)p107 7.48 moet -2 pi i zijn? voor theta in 0 tot 2pi en x positief reel: x+ie = |x|exp(ie); x-ie = |x|exp(i(2pi-e))

Return to “1ste Master/2e Master”

Who is online

Users browsing this forum: No registered users and 3 guests