complexe analyse

Forum van 1ste Master en 2e Master Fysica.

Moderator: Praesidium

User avatar
Julie
WOZ
Posts: 527

Re: complexe analyse

Post#16 » Sun Jan 16, 2011 11:05 am

Ik zal proberen antwoorden wat ik denk.
christophe wrote:Hier zijn al mijn vragen tot nu toe: (soms geef ik zelf een antwoord maar ben er dus niet altijd 100% zeker van)

1) (2.1) z_j moet inwendig zijn zodat je de limiet kan nemen? en waarom moet f analytisch zijn op de rand van C; als je de randblokjes enorm klein maakt dan kan z_j ook op de rand liggen??

Idd, je moet de limiet kunnen nemen, maar ook omdat je anders geen vakjes rond z_j kan beschouwen en er kringintegraaltjes rond kan berekenen denk ik. En als f niet analytisch is op C zelf, kun je voor alle vakjes langs de rand niet zeggen dat de kringintegraal daar nul wordt (zoals in vgl 2.6).

2) oef1. vraag 6) dus de hoogtelijnen van u en v staan loodrecht op elkaar; Je kan dit bewijzen doordat de gradienten van u en v in elk punt loodrecht op elkaar staan. Het bewijs in de les; dus als je de hoogtelijn doorloopt dan doorloop je een curve op het xy vlak; wij hebben volgens mij de rico van de rakende rechte in een punt van die curve berekent voor u en voor v. Ok ik heb het antwoord gevonden: scalair product van (ax ,x)*(bx,x) = abx²+x²=0 als ab=-1 (nulvector telt niet mee)

Idd, het product van hun richtingsvectoren moet -1 zijn om de rechten loodrecht te laten staan, dit is wat we hebben bewezen.

Trouwens het bewijs van de stelling van Weierstrass of poging tot: eerst bekijk je de modulus van het verschil tussen 2 punten van de reeks; dan kan je dus uniforme Cauchy convergentie bewijzen en 1 index naar oneindig laten gaan voor uniforme convergentie. (OK?)

Ik denk het wel, anders eens checken in Analyse I, daar hebben we dat denk ik ook bewezen.

3) oef3 1) laatste; Im(z)=0 dan cosinus begrensd (anders zit er in de modulus een divergerende cosh(ny) met y=Im(z)) dus convergent (convergentie domein is reële as)

Idd, convergent op de reële as. Ik heb die ook gemaakt, maar die staat op de achterkant van het blad net voor de opln van WB 4. (Moest ge mijn oefn hebben...) Ge kunt die cos als e-machten schrijven, dan de som splitsen in 2 sommen, dan ziet ge dat enkel voor y = 0 de reeks convergeert dus Im(z) = 0 idd.

4)oef3 2) c) nulde orde pool zin z=0?

Ik denk idd omdat die singulariteit van teller en noemer wegvallen t.o.v. elkaar dat dat een nulde-orde pool is (eigenlijk geen echte singulariteit dus).

5)oef3 3) vrij simpel met integraal representatie + Darboux buiten dan het feit dat voor de integraalrepresentatie f ook analytisch moet zijn op het contour zelf(of wat bedoelt die met binnen de cirkel..waars ook op de cirkel zeker)

6)oef3 4) Herschrijf met +- absolute reeks; met dan u_n + |u_n| < 2|u_n| dus de reeks is kleiner of gelijk aan de absolute reeks

7)oef4 5) vrij simpel gewoon 1/R^6 (k=6) afzonderen en dan is het overblijfende deel gelijk aan M=1 (voor R voldoende groot)

8) Waarom moeten polen geisoleerd zijn? Omdat er dan een kringintegraal rond 1 pool mogelijk is? (want dan bestaat er een omgeving rond waar geen punt zit van C, zodat 2 polen nooit te dicht bij elkaar kunnen kruipen..

Ik denk het ja.

9)Heaviside voorstelling? deze is niet gedefinieerd voor a=0?

Nee eigenlijk niet gedefinieerd in a=0 (heb ik er bijgeschreven staan van in de les). Per conventie wordt daar dan soms 1/2 genomen. In de definitie staat wel voor a groter of gelijk aan nul is de functie 1. Maar dat is mssn ook conventie dan?

10)Convergentie van de Laurentreeks. Voor het singuliere deel. In de platte donut is de reeks begrensd per definitie; de reeks is immers gelijk aan f(z) en deze is analytisch in dit gebied. Je kan bewijzen dat |b_n|<M r^n met r in de donut dan kunt ge schrijven dat de modulus van 1 term van de reeks kleiner is dan M*de rede van de meetkundige reeks.. die enkel convergeert als |z-z0|>r, dus kies r=R2 De reeks voldoet dan aan de Weierstrass test..en is dus absoluut en uniform convergent.

11)p.206 We hebben dit uitgewerkt in de oefeningen blad 8 3) en volgens mij is op p.206 ten eerste max fout, het moet min zijn en de plot is ook fout!

Ja idd, en dit was eigenlijk ook ongeveer de integraal die wij hadden op de 2de taak vastestof. Toen had ik niet gezien dat die hier stond :(

12)p107 7.48 moet -2 pi i zijn? voor theta in 0 tot 2pi en x positief reel: x+ie = |x|exp(ie); x-ie = |x|exp(i(2pi-e))
Merci, had ik niet gemerkt zelfs :).

Ook bedankt voor uw uitleg van die oefn op Matsubara sommaties, zal ze morgen nog eens bekijken!
*La sagesse, c'est d'avoir des rêves suffisamment grand, pour ne pas les perdre de vue quand on les poursuit.* (Oscar Wilde)

User avatar
christophe
Posts: 442

Re: complexe analyse

Post#17 » Sun Jan 16, 2011 9:48 pm

oefeningen 10 5)
door een extra term dg/dt toe te voegen aan de diff vgln
vind je
T(x,t)=-g(0)erf(x/2sqrt(kt))+g(t)

User avatar
Q
Prosenior
Posts: 663

Re: complexe analyse

Post#18 » Mon Jan 17, 2011 10:42 am

Kan er iemand het analoge bewijs op p.143 voor de duplicatieformule van legendre? Ik zit namelijk al vast bij het overgaan naar nieuwe variabelen :oops: .
Of gaat hij dit zeker niet vragen? (spiegelformule is al geweest bij inge en de W zodus...)
Mazzel

User avatar
Julie
WOZ
Posts: 527

Re: complexe analyse

Post#19 » Mon Jan 17, 2011 4:00 pm

Ik heb dat nog niet geprobeerd Q, sorry...
Zal het morgen eens proberen!
*La sagesse, c'est d'avoir des rêves suffisamment grand, pour ne pas les perdre de vue quand on les poursuit.* (Oscar Wilde)

User avatar
christophe
Posts: 442

Re: complexe analyse

Post#20 » Mon Jan 17, 2011 4:37 pm

Q wrote:Kan er iemand het analoge bewijs op p.143 voor de duplicatieformule van legendre? Ik zit namelijk al vast bij het overgaan naar nieuwe variabelen :oops: .
Of gaat hij dit zeker niet vragen? (spiegelformule is al geweest bij inge en de W zodus...)
Die duplicatieformule lijkt sterk op het verband tussen de beta functie en de gamma functie. Ge moet eerst eens B(z,z) berekenen en een goede substitutie doen om een gelijkaardige voorfactor 2 tot de macht iets te vinden. Dan moet ge ook eens B(n,m) schrijven als een integraal over de variabele x met dus t=x². Dan gaat ge een relatie vinden tussen B(z,z) en B(n,m) voor een bepaalde waarde van n en m. Als ge alles uitschrijft en nog gebruikt maakt van de recursierelate van de gamma functie dan bekomt ge de duplicatieformule van Legendre. Misschien kunt ge via een slimme substitutie het ook gewoon uitschrijven en integreren, maar ik denk dat dat veel meer werk is.

Caro

Re: complexe analyse

Post#21 » Mon Jan 17, 2011 8:24 pm

@Q, Christophe zijn uitleg iets overzichtelijker: http://mathworld.wolfram.com/LegendreDu ... rmula.html" onclick="window.open(this.href);return false; (op het einde nog 10.6 gebruiken).

User avatar
christophe
Posts: 442

Re: complexe analyse

Post#22 » Tue Jan 18, 2011 1:16 pm

Julie wrote:Ik zit nog met een vraag bij een oefening:

Oefening f van WB 7 (die we tijdens de laatste les als herhalingsoefening hebben gemaakt).
Ik heb voor dat residu geschreven dat je moet afleiden naar z, maar we hebben toch 3 eerstegraads polen (dus niet afleiden, toch?), en ik kom ook niet op dat residu van 1/3.exp(-2i pi/3)
Heeft iemand anders hetzelfde probleem?
Zou er iemand WB 15 kunnen doorscannen, ik heb de oplossingen maar niet alle opgaven. Is dit het oefeningenexamen van vorig jaar? Bedankt.

En dat residu zou ik berekenen met de b1 coef van de Laurentreeks rond 0 voor 1/(1+(u+exp(i*pi/3))^3)

User avatar
Julie
WOZ
Posts: 527

Re: complexe analyse

Post#23 » Tue Jan 18, 2011 2:24 pm

Stomme vraag mssn, maar als je een Laurentreeks ontwikkelt om je residu te bekomen, moet je de b1 term uit je Laurentreeks toch gewoon nemen als residu?
Maar bv. in oefn 1 c van WB 4, wat is daar dan je residu?
*La sagesse, c'est d'avoir des rêves suffisamment grand, pour ne pas les perdre de vue quand on les poursuit.* (Oscar Wilde)

User avatar
christophe
Posts: 442

Re: complexe analyse

Post#24 » Tue Jan 18, 2011 4:23 pm

Julie wrote:Stomme vraag mssn, maar als je een Laurentreeks ontwikkelt om je residu te bekomen, moet je de b1 term uit je Laurentreeks toch gewoon nemen als residu?
Maar bv. in oefn 1 c van WB 4, wat is daar dan je residu?
-7/45

Je ontwikkelt de functie rond de pool. En de b1 coëfficiënt is dan gelijk aan het residu van die pool.

User avatar
Julie
WOZ
Posts: 527

Re: complexe analyse

Post#25 » Tue Jan 18, 2011 4:39 pm

Ok ja, dat dacht ik ook (die 1/90-1/6).

Maar dan bij die oefn op matsubara sommaties zit ik nog steeds vast :oops:
Die 1 a: je hebt toch pi.cotg(pi z).(1/z²)
als je hiervan de cotg(pi z) ontwikkelt rond nul, krijg je: x^(-1) - (1/3)x - (1/45)x^3 - ...
Heb je als term bij x^(-1) dan niet -pi²/3 als residu? Ik snap niet hoe je aan pi²/6 komt :oops:
*La sagesse, c'est d'avoir des rêves suffisamment grand, pour ne pas les perdre de vue quand on les poursuit.* (Oscar Wilde)

User avatar
christophe
Posts: 442

Re: complexe analyse

Post#26 » Tue Jan 18, 2011 5:54 pm

Julie wrote:Ok ja, dat dacht ik ook (die 1/90-1/6).

Maar dan bij die oefn op matsubara sommaties zit ik nog steeds vast :oops:
Die 1 a: je hebt toch pi.cotg(pi z).(1/z²)
als je hiervan de cotg(pi z) ontwikkelt rond nul, krijg je: x^(-1) - (1/3)x - (1/45)x^3 - ...
Heb je als term bij x^(-1) dan niet -pi²/3 als residu? Ik snap niet hoe je aan pi²/6 komt :oops:
Uw residu is juist maar de reeks is gelijk aan - de helft van het residu.

De reeks=1/2 reeks over -inf tot inf zonder n:0=1/2[reeks -inf tot inf - reeks n:polen van f(z)] en dat is gelijk aan min de helft van het residu.

User avatar
Julie
WOZ
Posts: 527

Re: complexe analyse

Post#27 » Tue Jan 18, 2011 5:59 pm

Ah ok, jaja :), ik was aan't denken dat ge bedoelde dat uw residu pi²/6 moest zijn...Mercikes! WB 15 is op komst trws, ben het aan't scannen :)
*La sagesse, c'est d'avoir des rêves suffisamment grand, pour ne pas les perdre de vue quand on les poursuit.* (Oscar Wilde)

User avatar
ben
Prosenior
Posts: 1356

Re: complexe analyse

Post#28 » Tue Jan 18, 2011 10:00 pm

christophe wrote: 8) Waarom moeten polen geisoleerd zijn? Omdat er dan een kringintegraal rond 1 pool mogelijk is? (want dan bestaat er een omgeving rond waar geen punt zit van C, zodat 2 polen nooit te dicht bij elkaar kunnen kruipen..
Hmm, polen van eindige orde moeten geïsoleerd zijn omdat anders de inverse van die functie niet geïsoleerde nulpunten heeft en dus overal nul is, wat nogal zever oplevert voor uw oorspronkelijke functie.
9)Heaviside voorstelling? deze is niet gedefinieerd voor a=0?
Zie voetnoot van de heaviside
12)p107 7.48 moet -2 pi i zijn? voor theta in 0 tot 2pi en x positief reel: x+ie = |x|exp(ie); x-ie = |x|exp(i(2pi-e))
ja, denk ik ook.

User avatar
ben
Prosenior
Posts: 1356

Re: complexe analyse

Post#29 » Tue Jan 18, 2011 10:03 pm

Dan nog mijn vragen:

1/ ik zie eigenlijk niet in bij 2.4 waarom dat gelijk is aan f(z), ik ga der vanuit dat zijn gelijk moet zijn aan uw gewone delta, maar dan kom ik nog altijd f(z) - f(zj) uit...

2/ oefeningen blad 7, vraag c. ik ben een beetje in de war met het contour... want ge hebt polen én vertakkingspunten op +/-i hoe leggen jullie dat contour? en rekenen dan die uit?

3/ Oefeningenblad 15, laatste: iemand die die diff vgl kan omschrijven naar een van de vorm van bessel?

En ik heb geen mail over matsubara sommaties gekregen :(

User avatar
Julie
WOZ
Posts: 527

Re: complexe analyse

Post#30 » Tue Jan 18, 2011 10:19 pm

ben wrote:Dan nog mijn vragen:

1/ ik zie eigenlijk niet in bij 2.4 waarom dat gelijk is aan f(z), ik ga der vanuit dat zijn gelijk moet zijn aan uw gewone delta, maar dan kom ik nog altijd f(z) - f(zj) uit...
Hier zag ik ook helemaal niet waar die f(zj) naartoe is, mijn enige vraag eigenlijk nog bij de theorie... Weet niet wat ik moet zeggen als die dat vraagt :s.
ben wrote:
En ik heb geen mail over matsubara sommaties gekregen :(
Ik heb hem nog eens doorgestuurd (naar je hotmail adres)!
*La sagesse, c'est d'avoir des rêves suffisamment grand, pour ne pas les perdre de vue quand on les poursuit.* (Oscar Wilde)

Return to “1ste Master/2e Master”

Who is online

Users browsing this forum: No registered users and 3 guests