WINAK

Posted: **Fri Jun 13, 2008 4:09 pm**

Vraagje van mij en Quinten:
We hebben een tijdje gezocht naar voorbeelden van een begrensde maar niet totaal begrensde ruimte maar vinden er geen, terwijl het toch duidelijk moet bestaan. Moest iemand er een kennen...

Posted: **Fri Jun 13, 2008 5:00 pm**

Ik weet het ni, maar het interesseert mij ni, want ik heb het theorie-exaam al achter de rug

Om toch mijn gigantische medelijden met jullie een beetje uitdrukking mee te geven: hier mijn vragen:

1)Geef definitie van continuitet en van compactheid, en geef (nog ni bewijze) alle stellingen die met beide verband houde. OPL: alles van 4.17 tot en met 4.20. Van het eerste vroeg hij nog een tegenvoorbeeldje (kon ik ni, dus weetk de oplossing ni van) en van de laatste het bewijs (zie da ge da goe doorhebt van die deelrij in een deelrij).

Bijvraag: definitie van een nieuw begrip: f adherent continu <=> functie van adherente rij blijft een adherente rij (cfr cauchy continu). de vraag was: Waarom werd dit begrip ni ingevoerd in de cursus? Antwoord: omdat het equivalent is met continuïteit. En dit antwoord moest ik zelf bewijzen (alleen maar voor pijl C => AC gelukt, ni voor de pijl trug, bewijs zie vanonder.)

2) Geef (voor f: Rn -> Rp) definitie van (cont.) afl'baarheid, (cont.) partieel afl'baarheid, en (cont.) diff'baarheid, en alle implicaties en equivalenties ertussen:

Code: Select all

CD  <->  CA  <->  CPA

 |        |        |

\ /      \ /      \ /

D    ->   A   ->   PA

en bewijs de pijl D -> A.

3) Definieer functies van begrensde variatie (incl de hele definitie van totale variatie van een functie op (a,b)) en bewijs dat deze functies allemaal riemann-integreerbaar zijn

Bewijs vraag 1: C => AC:
stel f is continu en (xn)n --| x (rij xn adhereert aan x)

=> er bestaat (xkn)n --> x

=> (f(xkn))n --> f(x) (want f continu, is ergens een stelling in de cursus)

=> (f(xn))n --| f(x)

=> f AC

Posted: **Fri Jun 13, 2008 5:08 pm**

Van mijn mede studenten vanochten weetk het volgende (we ware maar me 3):
den ene moest kettingregel bewijzen, den andere compact => rijencompact

En geen een van ons 3 had een vraag over reeksen gehad. Als ge nu reeksen ni leert en hij vraagt het toch aan u, ni op mij steken he

Maar dus, als ge perse iets MOET overslaan, omda ge der anders ni komt, dan zouk da stuk pakken. Jammer genoeg is da wel net het makkelijkste uit de cursus

Posted: **Fri Jun 13, 2008 5:58 pm**

Alexander wrote:Vraagje van mij en Quinten:
We hebben een tijdje gezocht naar voorbeelden van een begrensde maar niet totaal begrensde ruimte maar vinden er geen, terwijl het toch duidelijk moet bestaan. Moest iemand er een kennen...

Wat zijn definities ervan nu weer?

Meestal ben je voor die dingen het gemakkelijkste met te spelen met spullen als het open interval $]0,1[$ in het universum $[0,1] \cup 2$

Posted: **Fri Jun 13, 2008 6:26 pm**

Alexander wrote:Vraagje van mij en Quinten:
We hebben een tijdje gezocht naar voorbeelden van een begrensde maar niet totaal begrensde ruimte maar vinden er geen, terwijl het toch duidelijk moet bestaan. Moest iemand er een kennen...

Zijn die niet hetzelfde in $\mathbb{R}$ ?

Ik dacht dat relatief eenvoudige voorbeelden zijn te vinden in de functieruimte van $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , maar het is iets te lang geleden om er mij direct 1 voor de geest te halen.

Posted: **Sat Jun 14, 2008 1:13 pm**

Als ge nu de vraag over hoofdstuk 1 juist hebt bijvoorbeeld en de bijvraag niet. En uw andere twee vragen zijn bijna juist met een hint. Bent ge der dan nog door bij de peeters?

en ik weet niet honderd procent zeker maar voor de quinten en alexander: de ruimte R ^n denk ek. Je kan daar een open overdekking make, maar geen eindige deeloverdekking. Da eindig ist probleem.
Ik dacht da é, maar ja, mijn analytische capaciteite zijn allesbehalve goe vrees ik. Als dit ni klopt, kunt ge het dan zegge.

Posted: **Sat Jun 14, 2008 1:48 pm**

ik moet eerlijk toegeven dat ik er ook op heb zitten nadenken en niet gevonden heb. Ik heb echter wel in mijn cursus de stelling staan dat voor elke deelverzameling van $R^n$ geldt dat begrensd equivalent is met totaal begrensd.

wat volgens mij het voorbeeld van Amy een beetje annuleert en wat het allemaal vrij moeilijk maakt om een voorbeeld te vinden.

Posted: **Sat Jun 14, 2008 2:12 pm**

Ik denk dat je in de trend van hetvolgende zou moeten zoeken:

bijvoorbeeld, iets in de trend van de continue functies $]0,1[ \rightarrow \mathbb{R}$ waarvoor $lim_{x \rightarrow 0} = lim_{x \rightarrow 1} = 0$ .

Ik weet niet of dat een juist voorbeeld is, maar het is dat soort voorbeelden dat bestaat.

Posted: **Sat Jun 14, 2008 3:21 pm**

amy wrote:Als ge nu de vraag over hoofdstuk 1 juist hebt bijvoorbeeld en de bijvraag niet. En uw andere twee vragen zijn bijna juist met een hint. Bent ge der dan nog door bij de peeters?

Als ge bij vraag 2 en 3 u definities en stellinge wél juist kent, maar de bewijzen alleen met hulp, dan zijde der zeker door zene.

Als ge u definities al gaat verknoeie zijde slecht op weg... Daar moete echt wel zeker van zijn da ge ze allemaal perfect kent (als ge Rn neem ipv een open deel G van Rn, ist al fout)

Posted: **Sat Jun 14, 2008 3:27 pm**

OK, dan zou het mss nog kunne lukke... me veel geluk maja...

Posted: **Sat Jun 14, 2008 4:23 pm**

Als enkele (>1e) Bachelor wiskundigen en onze plaatselijke analyse-specialist Winny O'Kelly de Galway er niet uitgeraken heb ik een excuus om niet instant een tegenvoorbeeld te bedenken op het examen.

Bedankt voor de antwoorden.

Posted: **Sat Jun 14, 2008 6:41 pm**

Ik heb Julie gebeld en daar mee lastig gevalle en blijkbaar heeft Prof. Peeters toch een tegenvoorbeeld gegeven, hier is het:

8 staat voor oneindig teken
e staat voor een element van

$X= \mathbb{R}^n$ $(x_n)_n en (y_n)_n$
$d_\infty\left[(x_n)_n, (y_n)_n\right] = \sup{|x_n-y_n|^{10\ldots100}$

neem $(e_n)_n= (0,0,0,0,\ldots,1,0,0,\ldots,0)$ de 1 op de n-de plaats

$E= \left\{(e_n)_n: n \in N\right\}$

beweer E= begrensd en niet TB

$d_\infty ((e_n),0)=1 \Rightarrow E \subset B(0,2)$ (zit helemaal in 1 bol en dus E begrensd)
$d_\infty(e_m, e_n)=1\text{ als }m \not= n$
$E \subset UB(e_n, \frac{1}{2}) en UB(e_n, \frac{1}{2})$ moet oneindig zijn

K > N E is niet te overdekken door eindig # bollen

$(K= \infty)$ # bollen $\Rightarrow$ E niet TB $\Rightarrow$ X niet TB

X wel begrensd $B(\epsilon, (10^100) 1)$

(Alleen in eindig dimensionale ruimtes zijn beide begrippen gelijk)

khoop da ge der toch nog iets aan hebt...

Slimmy: Robbe! TeXify this!
edit(Robbe): Jawohl, Mein Führer! @amy, als ik iets verkeerd heb begrepen, laat het maar weten

Ben: Ik heb die e-tjes veranderd, blijkbaar waren niet al haar e-tjes 'element van', bedankt om het bericht toch te verduidelijken!
Slimmy: Ik ben u fuhrer nimeer!

Posted: **Sat Jun 14, 2008 11:57 pm**

hmm en wat als je werkt in een metrische ruimte met de discrete metriek? dan kan je die helemaal overdekken met een bol met straal p+1 (als p de discrete afstand is), maar vanaf straal p-1 heb je er oneindig nodig. Kan dit?

Ben

Posted: **Sun Jun 15, 2008 1:05 pm**

Idd, is wel een veel simpeler voorbeeld!!!!
GOED GEVONDE BEN!!!!

Posted: **Tue Jun 17, 2008 6:46 pm**

amy wrote:Idd, is wel een veel simpeler voorbeeld!!!
GOED GEVONDE BEN!!!!

Ik had dat tegenvoorbeeld dat Amy zei eens in mn notities gevonden, ik weet wel dat begrensd en totaal begrensd hetzelfde betekenen in een eindig dimensionale ruimte. Maar idd, dat vb van Ben is net iets korter en simpeler

...
Weet iemand trouwens of die oefeningen van analyse een beetje meevallen (assistent = Stijn Verwulgen), want we mogen zowel onze cursus oefn als onze theoriecursus meepakken, dus dan wordt het volgens mij echt moeilijk ofwel belachelijk simpel (ik hoop dat het ni zoals in den eerste semester ineens keimoeilijke oefn gaan zijn ivm die van in de les

...)

WINAK

Analyse II