WINAK

Hey wiskundeliefhebbers allerhande!
Voor ons examen wiskunde op de hogeschool kregen wij 10 vragen om op te lossen tijdens het jaar. Mijn klasje en ik hebben er echter slechts 7 gevonden.
Kan er iemand helpen? (Ik kijk vooral naar het WIK-preasidium)

De vraagjes zijn:


Klik op de afbeelding voor iets leesbaarder.

Dank op voorhand!

Mawa heeft die ook moete maken...
Vraag daar ne keer

Wolfram zegt dat de oplossing van 1.3) gelijk is aan 3

Dus het is een natuurlijk getal.

Stanny wrote:Mawa heeft die ook moete maken...
Vraag daar ne keer

inderdaad, en Mawa had ze allemaal behalve die 3de. Ik heb die 2e opgelost, maar dat was een redelijk moeilijk bewijs.

Een beetje brainstormend denk ik dat die tweede (relatief snel) op te lossen is via een strikte ongelijkheid te nemen tussen de absolute waarden van x en y om vervolgens de vier mogelijke scenario's te bespreken. Maar zoals steeds heb ik niet meteen zin om dit rigoureus uit te werken . Misschien vanavond.

Sebastiaan wrote:Wolfram zegt dat de oplossing van 1.3) gelijk is aan 3

Dus het is een natuurlijk getal.

Nu nog het bewijs he

Kzal het dan wel is aan Mawa vragen. Maar zij die er zin in hebben: werk gerust voort

De log van het chatgesprek waarin ik 1.2 uitleg aan Mawa. Ik hoop dat je er aan uit kan.


Ah, heb 1.2 ook opgelost
Zoek de inverse van x + sqrt(x²+1)
en noem die z.
na wat rekenen kom je uit dat z = - x +/- sqrt(x²+1) en dus = y + sqrt(y²+1)
z = - x +/- sqrt(x²+1) wordt -x + sqrt(x²+1) (kan je narekenen door in te vullen in de inverse, enkel + geeft oplossing)
sqrt(x²+1) - sqrt(y²+1) = x+y en dus (kwadrateren, x² en y² schrappen en delen door 2): xy - 1 - sqrt((x²+1)(y²+1)) = 0
als je de begin vergelijking uitrekent, krijg je xy - 1 - sqrt((x²+1)(y²+1)) + x sqrt(y²+1) + y sqrt(x²+1) = 0
en dus x sqrt(y²+1) + y sqrt(x²+1) = 0
nogmaals kwadrateren geeft: x² (y²+1) = y² (x²+1)
en dus x² = y²

( x+sqrt(x²+1) ) z = 1 <=> xz + sqrt(x²+1) z = 1 <=> sqrt(x²+1) z = 1 - xz => (x²+1 ) z² = 1 - 2xz + x² z² <=> z² + 2xz -1 = 0 (en dan de discriminant enzo voor oplossing)
Wat je mss ook kan doen is zeggen: stel y = -x, dan hebben we idd dat het product = 1. Dan moet er bewezen worden dat dit uniek is.
maar uniciteit is meestal moeilijk te bewijzen
je hebt 2 z's
z = - x + sqrt(x²+1) en z = - x - sqrt(x²+1)
Maar als je ze invult, komt enkel de + uit
ah, de laatste stappen kunnen iets sneller!
- x + sqrt(x²+1) = y + sqrt(y²+1)
Herschrijf als - y + sqrt(x²+1) = x + sqrt(y²+1) en kwadrateer dan pas
na schrappen, heb je dan: - y sqrt(x²+1) = x sqrt(y²+1)
Dat opnieuw kwadrateren geeft y² = x²
<Mawa> maar waarom mag je dit doen: - x + sqrt(x²+1) = y + sqrt(y²+1)
omdat - x + sqrt(x²+1) het inverse is van x + sqrt(x²+1)
en y + sqrt(y²+1) is ook het inverse van x + sqrt(x²+1) (gegeven)
(want die laatsten hebben product 1 staat in de opgave)
en de inverse is uniek



Vrij vertaald:
* Wat ik deed was eerst de inverse zoeken van x + sqrt(x²+1) als een functie van x.

* Die inverse, -x + sqrt(x²+1), is bijgevolg gelijk aan y + sqrt(y²+1) (wegens uniciteit)

* - x + sqrt(x²+1) = y + sqrt(y²+1)
<=> - y + sqrt(x²+1) = x + sqrt(y²+1)
=> (kwadrateren) - y sqrt(x²+1) = x sqrt(y²+1)
=> (kwadrateren) y² = x²
=> x = -y want als x = y, dan = 0 (als ze gelijk zijn, kunnen ze enkel 0 zijn, dat zie je direct als je ze invult in de eerst vgl.)

Ge kunt en beiden vereenvoudigen:


=

Dan moet ge alleen nog voor x en y de juiste waarden vinden zoda en voor de eerste wortel en en voor de tweede.

Edit:
Bij het eerste komt ge dus op uit en bij het tweede op - als ge twee keer de positieve wortel kiest, toch.

Merci NecRock! Ksnap em, ik kende alleen die formule niet.
Sebiet aan die van Math Wolf beginnen.

Het is gewoon een goedgekozen dubbelproduct, meer niet . Wel mooi gevonden!

Pieter Belmans wrote:Het is gewoon een goedgekozen dubbelproduct, meer niet . Wel mooi gevonden!

Nu merk ik het ook pas op.

Dikke merci Math Wolf! Kheb het zelfs redelijk kort kunnen opschrijven.
Nu die eerste nog

Math Wolf wrote:sqrt(x²+1) - sqrt(y²+1) = x+y en dus (kwadrateren, x² en y² schrappen en delen door 2): xy - 1 - sqrt((x²+1)(y²+1)) = 0

Volgens mij moet dat + sqrt((x²+1)(y²+1)) zijn...

Gelukkig niet zo erg want...

Math Wolf wrote:als je de begin vergelijking uitrekent, krijg je xy - 1 - sqrt((x²+1)(y²+1)) + x sqrt(y²+1) + y sqrt(x²+1) = 0

Hier moet het ook + zijn