Post#7 » Wed Jun 02, 2010 12:54 pm
De log van het chatgesprek waarin ik 1.2 uitleg aan Mawa. Ik hoop dat je er aan uit kan.
Ah, heb 1.2 ook opgelost
Zoek de inverse van x + sqrt(x²+1)
en noem die z.
na wat rekenen kom je uit dat z = - x +/- sqrt(x²+1) en dus = y + sqrt(y²+1)
z = - x +/- sqrt(x²+1) wordt -x + sqrt(x²+1) (kan je narekenen door in te vullen in de inverse, enkel + geeft oplossing)
sqrt(x²+1) - sqrt(y²+1) = x+y en dus (kwadrateren, x² en y² schrappen en delen door 2): xy - 1 - sqrt((x²+1)(y²+1)) = 0
als je de begin vergelijking uitrekent, krijg je xy - 1 - sqrt((x²+1)(y²+1)) + x sqrt(y²+1) + y sqrt(x²+1) = 0
en dus x sqrt(y²+1) + y sqrt(x²+1) = 0
nogmaals kwadrateren geeft: x² (y²+1) = y² (x²+1)
en dus x² = y²
( x+sqrt(x²+1) ) z = 1 <=> xz + sqrt(x²+1) z = 1 <=> sqrt(x²+1) z = 1 - xz => (x²+1 ) z² = 1 - 2xz + x² z² <=> z² + 2xz -1 = 0 (en dan de discriminant enzo voor oplossing)
Wat je mss ook kan doen is zeggen: stel y = -x, dan hebben we idd dat het product = 1. Dan moet er bewezen worden dat dit uniek is.
maar uniciteit is meestal moeilijk te bewijzen
je hebt 2 z's
z = - x + sqrt(x²+1) en z = - x - sqrt(x²+1)
Maar als je ze invult, komt enkel de + uit
ah, de laatste stappen kunnen iets sneller!
- x + sqrt(x²+1) = y + sqrt(y²+1)
Herschrijf als - y + sqrt(x²+1) = x + sqrt(y²+1) en kwadrateer dan pas
na schrappen, heb je dan: - y sqrt(x²+1) = x sqrt(y²+1)
Dat opnieuw kwadrateren geeft y² = x²
<Mawa> maar waarom mag je dit doen: - x + sqrt(x²+1) = y + sqrt(y²+1)
omdat - x + sqrt(x²+1) het inverse is van x + sqrt(x²+1)
en y + sqrt(y²+1) is ook het inverse van x + sqrt(x²+1) (gegeven)
(want die laatsten hebben product 1 staat in de opgave)
en de inverse is uniek
Vrij vertaald:
* Wat ik deed was eerst de inverse zoeken van x + sqrt(x²+1) als een functie van x.
* Die inverse, -x + sqrt(x²+1), is bijgevolg gelijk aan y + sqrt(y²+1) (wegens uniciteit)
* - x + sqrt(x²+1) = y + sqrt(y²+1)
<=> - y + sqrt(x²+1) = x + sqrt(y²+1)
=> (kwadrateren) - y sqrt(x²+1) = x sqrt(y²+1)
=> (kwadrateren) y² = x²
=> x = -y want als x = y, dan = 0 (als ze gelijk zijn, kunnen ze enkel 0 zijn, dat zie je direct als je ze invult in de eerst vgl.)
Last edited by
Math Wolf on Wed Jun 02, 2010 1:09 pm, edited 2 times in total.
2014: Jan16, Feb15, Mar16, Apr15, May14, Jun13, Jul12, Aug10, Sep9, Oct8, Nov6, Dec6
2015: Jan5, Feb5, Mar5, Apr4, May4, Jun2, Jul2, Jul31, Aug29, Sep28, Oct27, Nov25, Dec25
. Misschien vanavond.
