WINAK

Loha,

Zoals de titel zegt, hoe bepaal ik de matrix van een lineaire afbeelding tegenover een bepaalde gegeven basis.

Hoe bepaal ik dan Ker(f) en Im(f)?

Voorbeeld:
v = { F \in R[X]|gr(F) <= 2)}
met basis b {X², X en 1}

en

f: V -> R: F |-> F(c)
met R heeft een basis C = {1}

Bepaal nu de matrix tov B en C

Bepaal Dimensie van Ker(f) en Im(f)

Tzou geweldig zijn moest iemand da ff kunnen uitwerken nog

greets
Fristi

edit: tsta ni latex omdak nogal gehaast ben ^^

B = { X^2, X, 1 }

Uw basisvectoren voor V zijn dus
e_1 = X^2
e_2 = X
e_3 = 1

Ik veronderstel dat c in uw definitie van de afbeelding f een vast gekozen element van |R is.

De matrix die je zoekt heeft 1 rij en 3 kolommen.
In de eerste kolom staan de coëfficiënten van het beeld van uw basisvector e_1 tov de basis C={1}, in de tweede kolom staan de coëfficiënten van het beeld van de basisvector e_2 tov de basis C={1} en in de derde kolom ...

f(e_1) = c^2 = c^2*1, de coëfficiënt bij de basisvector 1 is dus c^2.
f(e_2) = c = c*1, de coëfficiënt bij de basisvector 1 is dus c.
f(e_3) = 1 = 1*1, de coëfficiënt bij de basisvector 1 is dus 1.


Dus de matrix ziet eruit als,

(c^2 c 1)

Als je nu het beeld zou willen bepalen van bijvoorbeeld F(X) = a*X^2 + b*X + c onder de afbeelding f, dan kan je dit doen als volgt:

Bepaal de coëfficiënten van F t.o.v. de basis {X^2,X,1}, deze kunnen we in een kolomvector plaatsen ( a b c )^T.

Door matrix-vectorvermenigvuldiging kan je nu de coëfficienten van het beeld t.o.v. de basis C bepalen.

(c^2 c 1) . (a b c)^T = ( ac^2 + bc + 1 )

Om het effectieve beeld te bepalen moet je ac^2 + bc + 1 nog vermenigvuldigen met de basisvector waarvoor dit de coefficient is. Aangezien deze basisvector 1 is maakt dit echter niets uit. De opgave zou een andere wending krijgen als je als basis voor |R C = {2} had genomen bijvoorbeeld. Dan had je als matrix (c^2/2 c/2 1/2) gehad.

Nu de matrix bepaald is kunnen we kijken naar de dimensies van Ker(f) en Im(f).

Ik neem aan dat jullie volgende stelling voor lineaire afbeeldingen gezien hebben,

dim(Im(f)) + dim(Ker(f)) = dim(V)

In dit voorbeeld is dim(V) = 3 als we V als |R-vectorruimte beschouwen, immers dan zijn er drie basisvectoren 1,X en X^2.

De dimensie van Im(f) kan je ook gemakkelijk bepalen. Immers Im(f) = |R, dit kan je zien door alle constante functies af te beelden. Dus dim(Im(f)) = 1 als we Im(f) beschouwen als |R-vectorruimte.

Uit bovenstaande stelling vinden we nu dat dim(Ker(f)) = 2 als we Ker(f) beschouwen als |R-vectorruimte.

Je had dit ook nog anders kunnen zien. Ker(f) bestaat uit alle polynomen van graad <=2 die c als nulpunt hebben. Dergelijke polynomen zijn in het algemeen van de vorm

F(X) = (X-c)(aX-b)

Waarbij a en b vrij te kiezen onafhankelijke parameters zijn. Doordat a en b twee vrij te kiezen onafhankelijke parameters zijn, is Ker(f) tweedimensionaal. Als je dit eerst had gevonden kon je vervolgens de dimensie van Im(f) bepalen via de stelling.

Ik hoop dat dit allemaal een beetje klopt ...
maar ik sta niet garant voor mijzelf natuurlijk.
Het is meer uitleg dan inhoud uiteindelijk hoor.

Woah, thanks a lot!

Denk wel da het klopt, aleja, het komt toch overeen me wat ik min of meer in gedachten had , bedankt dus!