[Lineaire Algebra]Matrix van een Lin. Afbeelding tov basis

Forum van 2de Bachelor Informatica.

Moderator: Praesidium

User avatar
Fristi
WOZ
Posts: 4565

[Lineaire Algebra]Matrix van een Lin. Afbeelding tov basis

Post#1 » Tue Sep 01, 2009 7:34 pm

Loha,

Zoals de titel zegt, hoe bepaal ik de matrix van een lineaire afbeelding tegenover een bepaalde gegeven basis.

Hoe bepaal ik dan Ker(f) en Im(f)?

Voorbeeld:
v = { F \in R[X]|gr(F) <= 2)}
met basis b {X², X en 1}

en

f: V -> R: F |-> F(c)
met R heeft een basis C = {1}

Bepaal nu de matrix tov B en C

Bepaal Dimensie van Ker(f) en Im(f)

Tzou geweldig zijn moest iemand da ff kunnen uitwerken nog :)

greets
Fristi

edit: tsta ni latex omdak nogal gehaast ben ^^
Fristi Ad Infinitum

WINAK WOZ 2013 - ...
WINAK Magister Fristi 2012-2013
WINAK Feest 2011-2012
WINAK Schachtentemmer 2010-2011
WINAK Scriptor 2008-2009 | 2009-2010

Sem
Posts: 92

Post#2 » Tue Sep 01, 2009 8:35 pm

B = { X^2, X, 1 }

Uw basisvectoren voor V zijn dus
e_1 = X^2
e_2 = X
e_3 = 1

Ik veronderstel dat c in uw definitie van de afbeelding f een vast gekozen element van |R is.

De matrix die je zoekt heeft 1 rij en 3 kolommen.
In de eerste kolom staan de coëfficiënten van het beeld van uw basisvector e_1 tov de basis C={1}, in de tweede kolom staan de coëfficiënten van het beeld van de basisvector e_2 tov de basis C={1} en in de derde kolom ...

f(e_1) = c^2 = c^2*1, de coëfficiënt bij de basisvector 1 is dus c^2.
f(e_2) = c = c*1, de coëfficiënt bij de basisvector 1 is dus c.
f(e_3) = 1 = 1*1, de coëfficiënt bij de basisvector 1 is dus 1.


Dus de matrix ziet eruit als,

(c^2 c 1)

Als je nu het beeld zou willen bepalen van bijvoorbeeld F(X) = a*X^2 + b*X + c onder de afbeelding f, dan kan je dit doen als volgt:

Bepaal de coëfficiënten van F t.o.v. de basis {X^2,X,1}, deze kunnen we in een kolomvector plaatsen ( a b c )^T.

Door matrix-vectorvermenigvuldiging kan je nu de coëfficienten van het beeld t.o.v. de basis C bepalen.

(c^2 c 1) . (a b c)^T = ( ac^2 + bc + 1 )

Om het effectieve beeld te bepalen moet je ac^2 + bc + 1 nog vermenigvuldigen met de basisvector waarvoor dit de coefficient is. Aangezien deze basisvector 1 is maakt dit echter niets uit. De opgave zou een andere wending krijgen als je als basis voor |R C = {2} had genomen bijvoorbeeld. Dan had je als matrix (c^2/2 c/2 1/2) gehad.

Nu de matrix bepaald is kunnen we kijken naar de dimensies van Ker(f) en Im(f).

Ik neem aan dat jullie volgende stelling voor lineaire afbeeldingen gezien hebben,

dim(Im(f)) + dim(Ker(f)) = dim(V)

In dit voorbeeld is dim(V) = 3 als we V als |R-vectorruimte beschouwen, immers dan zijn er drie basisvectoren 1,X en X^2.

De dimensie van Im(f) kan je ook gemakkelijk bepalen. Immers Im(f) = |R, dit kan je zien door alle constante functies af te beelden. Dus dim(Im(f)) = 1 als we Im(f) beschouwen als |R-vectorruimte.

Uit bovenstaande stelling vinden we nu dat dim(Ker(f)) = 2 als we Ker(f) beschouwen als |R-vectorruimte.

Je had dit ook nog anders kunnen zien. Ker(f) bestaat uit alle polynomen van graad <=2 die c als nulpunt hebben. Dergelijke polynomen zijn in het algemeen van de vorm

F(X) = (X-c)(aX-b)

Waarbij a en b vrij te kiezen onafhankelijke parameters zijn. Doordat a en b twee vrij te kiezen onafhankelijke parameters zijn, is Ker(f) tweedimensionaal. Als je dit eerst had gevonden kon je vervolgens de dimensie van Im(f) bepalen via de stelling.

Ik hoop dat dit allemaal een beetje klopt ...
maar ik sta niet garant voor mijzelf natuurlijk.
Het is meer uitleg dan inhoud uiteindelijk hoor.

User avatar
Fristi
WOZ
Posts: 4565

Post#3 » Tue Sep 01, 2009 8:53 pm

Woah, thanks a lot!

Denk wel da het klopt, aleja, het komt toch overeen me wat ik min of meer in gedachten had :), bedankt dus!
Fristi Ad Infinitum

WINAK WOZ 2013 - ...
WINAK Magister Fristi 2012-2013
WINAK Feest 2011-2012
WINAK Schachtentemmer 2010-2011
WINAK Scriptor 2008-2009 | 2009-2010

Return to “2de Bachelor”

Who is online

Users browsing this forum: No registered users and 3 guests

cron