[Calculus] Examenvragen theorie augustus 2010
Posted: Tue Sep 07, 2010 9:12 am
Ik ken/kan geen Tex, dus als iemand de vragen op papier wilt zien... feel free. Hiermee heb je toch al een idee:
Vraag 1) Geef de stelling van Rolle en bewijs ze.
Vraag 2) Geef de 2 hoofdstellingen van de calculus (zonder bewijs)
Vraag 3) Waar of vals -- en waarom (kort bewijsje of tegenvoorbeeld)
i) Als f(x) = |x² - x| dan is f'(x) = |2x - 1|
ii) Indien f(x) = Tn(f, a) (x) + Rn(f, a) (x) met
|Rn(f, a) (x)| ≤ 1/(n^2 tan(1/n)) (x - a)^(n+1) (voor alle |x -a| < 1)
Dan geldt dat de Taylor-reeks convergeert voor |x - a| < 1
iii) Stel dat f(x) = Σ k=0 tot n (c2k x^2k), met c2k ∈ ℝ0, een willekeurig polynoom is van graad n ≥ 4
Indien je weet dat f'(1) = 0 en f"(1) > 0, dan geldt er dat f(x) een lokaal maximum heeft voor x = -1
Vraag 4) Gegeven een afleidbare functie f(x), met domein D ⊂ ℝ, waarvoor f'(x) continu is. Leg dan uit in eigen woorden hoe we de formule hebben opgesteld voor de booglengte van de kromme y = f(x)
Vraag 5) Gegeven de functie f(x, y) in 2 veranderlijken, met domein D ⊂ ℝ²
i) Leg uit wat een richting u (a, b) is en geef dan de definitie voor de richtingsafgeleide D uf(x0, y0) in het punt (x0, y0) ∈ D (als een limiet)
ii) Leg uit wat de gradiënt ∇f van de functie is, en geef de formule die het verband uitdrukt tussen deze gradiënt en Duf(x0, y0) (niet bewijzen)
iii) Leg uit hoe je de maximale waarde voor de richtingsafgeleide D uf(x0, y0) in het gegeven punt (x0, y0) in D zou bepalen
iv) Verklaar tenslotte hoe ∇f (x0, y0) ook grafisch kan geïnterpreteerd worden
Vraag 1) Geef de stelling van Rolle en bewijs ze.
Vraag 2) Geef de 2 hoofdstellingen van de calculus (zonder bewijs)
Vraag 3) Waar of vals -- en waarom (kort bewijsje of tegenvoorbeeld)
i) Als f(x) = |x² - x| dan is f'(x) = |2x - 1|
ii) Indien f(x) = Tn(f, a) (x) + Rn(f, a) (x) met
|Rn(f, a) (x)| ≤ 1/(n^2 tan(1/n)) (x - a)^(n+1) (voor alle |x -a| < 1)
Dan geldt dat de Taylor-reeks convergeert voor |x - a| < 1
iii) Stel dat f(x) = Σ k=0 tot n (c2k x^2k), met c2k ∈ ℝ0, een willekeurig polynoom is van graad n ≥ 4
Indien je weet dat f'(1) = 0 en f"(1) > 0, dan geldt er dat f(x) een lokaal maximum heeft voor x = -1
Vraag 4) Gegeven een afleidbare functie f(x), met domein D ⊂ ℝ, waarvoor f'(x) continu is. Leg dan uit in eigen woorden hoe we de formule hebben opgesteld voor de booglengte van de kromme y = f(x)
Vraag 5) Gegeven de functie f(x, y) in 2 veranderlijken, met domein D ⊂ ℝ²
i) Leg uit wat een richting u (a, b) is en geef dan de definitie voor de richtingsafgeleide D uf(x0, y0) in het punt (x0, y0) ∈ D (als een limiet)
ii) Leg uit wat de gradiënt ∇f van de functie is, en geef de formule die het verband uitdrukt tussen deze gradiënt en Duf(x0, y0) (niet bewijzen)
iii) Leg uit hoe je de maximale waarde voor de richtingsafgeleide D uf(x0, y0) in het gegeven punt (x0, y0) in D zou bepalen
iv) Verklaar tenslotte hoe ∇f (x0, y0) ook grafisch kan geïnterpreteerd worden
