[Calculus] Taylor + Binomiaalreeks

[PieterK]

Ik heb enkele vragen bij de Taylor- en de Binomiaalreeksen.
Hoe kunt ge aantonen dat een Taylorreeks de machtreeks van een functie is? Ik snap dien uitleg van de restterm wel maar ik snap niet hoe ge dan concreet aantoont dat de limiet van de restterm naar 0 gaat. In den boek gebruiken ze de "Taylor Inequality" om dat aan te tonen maar dat gebruiken wij precies niet. (of wel?)

Dan bij de binomiaalreeks tonen we dat (1+x)^alpha = binomiaalreeks. Wat is de redenering achter het bewijs? Want we forceren daar vanalles met (1+x)^alpha (= f(x) in het bewijs) en dan met de formule van de binomiaalreeks (= g(x) in het bewijs).
Alvast bedankt!

[zarry]

is da ni da een machtreeks de functie voorstelt binnen de convergentiestraal..?

en ja da bewijs, das een manier van soetens om toch een differentiaal vergelijking te zien zonder da te moete zien ma dan hadde we da toch al is gezien.. voor zover dit geen antwoord op u vraag is natuurlijk

[Fristi]

ff topic hijacken om de off-topic vraag te stellen: zien wij ergens ooit diff-vgl's ? ^^

Edit: voor de wiseguy onder mij: was dus een typfout

[Pieter Belmans]

I kinda missed this topic.

Anyway, de binomiaalreeks bewijzen we door twee eigenschappen van een functie op te schrijven, en dan bewijzen we dat de functie en de bijbehorende reeks de enige mogelijkheden zijn.

Fristi, ja doh, er zijn een hoop equivalente uitdrukkingen. I presume in elk geval dat iff een <=> statement is.

[PieterK]

is da ni da een machtreeks de functie voorstelt binnen de convergentiestraal..?

Yup da ding
But the question remains: hoe bewijzen wij dat?

@Pieter Belmans: ok nu snap ik het (denk ik)

[Pieter Belmans]

Je schrijft een uitdrukking voor die restterm, waarbij je uitgaat van de polynoom met graad n. Vervolgens neem je de limiet van deze uitdrukking (wat niet altijd even gemakkelijk zal gaan en bovendien doen we dat ook nooit voor zover ik weet) en als die 0 is, hebben we een machtreeks die de functie voorstelt.

Er was ook iets met afgeleiden kleiner dan 1, maar dat ontglipt me even (en morgen heb ik al examen, baaaad :X). Edoch, dat is niet zo belangrijk I presume .

[PieterK]

Er was ook iets met afgeleiden kleiner dan 1, maar dat ontglipt me even (en morgen heb ik al examen, baaaad :X). Edoch, dat is niet zo belangrijk I presume .

Dat weet ge niet he of da belangrijk is
Good luck morgen zou ik zeggen! (Niet dat gij het echt nodig hebt denk ik)

[Pieter Belmans]

Ik heb maar een 1/10 nodig, dus erg lastig om te slagen wordt het niet .

Anyway, hier de uitleg over de restterm:

We hebben een veralgemening op de stelling van Lagrange gezien voor de n-de afgeleide, de stelling van Taylor. Hiervan gebruik makend kan je, bij een afgeleide die enigszins goed uitkomt (lees: kleiner dan 1 ), dus bijvoorbeeld voor sinus en cosinus is het een mooie techniek), aantonen dat de restterm (die je herkent in een vorm uit die stelling van Lagrange), convergeert naar 0.


En dit is zo niet belangrijk omdat het puur 'n technische/theoretische opmerking is, en wiskunde-examens gaan over het begrip van de hele leerstof. Als ik het morgen gevraagd krijg ga ik je wel dankbaar zijn om het mij 's te doen herlezen .


Edit: ik heb nagedacht over die kleiner dan 1, en eigenlijk is dat rubbish. Je kiest een getal in de convergentiestraal, en als de n-de afgeleide voor elk van die getallen in een bepaald interval valt, dan is het gemakkelijk om met die vorm van de restterm iets aan te tonen. Sinussen en cosinussen ehbben een beeld tussen -1 en 1, net als al hun afgeleiden. Ga je e^x afleiden is er geen begrensd interval waarin alle afgeleiden zich bevinden en dus is het daarom lastiger. Voor vormen als gaat de afgeleide ook niet buiten een bepaald interval gaan en dus is met de stelling van Taylor een vorm voor de restterm op te stellen die aantoonbaar naar 0 convergeert.

Dénk ik .

[PieterK]

Ik heb maar een 1/10 nodig, dus erg lastig om te slagen wordt het niet .

Dan heb ik wel net iets méér nodig om te slagen (Zoals een zeer goed mondeling examen en dan nog is een goed praktijkexamen )
Bedankt voor de uitleg: ik denk, na het te hebben herlezen in de cursus en na jou uitleg, dat ik het wel snap.