Julie wrote:Ik heb een vraag bij de oefeningen, WB 9:
- Heeft er iemand oef 1 afgewerkt en bewezen dat die integraal naar nul gaat?
Door het speciaal contour ontwijkt ge alle polen. Wij hebben bewezen dat |cot(pi*z)| op het contour begrensd is. Nu kunt ge nuttige stelling 1 gebruiken.
Julie wrote:- Ik snap niet veel van oefening 2, en heb het gevoel dat ik zowel a als b fout heb opgeschreven. Zit me er al heel lang op blind te staren, en vroeg me af of iemand me kan vertellen welk contour we hebben gekozen (zowel bij a als b), dat die integraal nul wordt, of er geen min moet staan voor dat residu, en hoe je dan wel dat residu berekent?? Bij a heb ik niets uitgerekend, en bij b zie ik niet eens wat we gedaan hebben. Ik zou denken dat je 1/(2ia) krijgt als je dat residu berekent ipv 1/(ia)...
- Moest er iemand c of d kunnen, zou die mij dat dan please kunnen uitleggen?
Voor a) zie mijn mail over Matsubara sommaties. Schrijf eerst als een sommatie van -inf tot inf zonder n=0. Vervolgens kunt ge op die som "mijn" formule toepassen. Btw er staat een schrijffout in "mijn" formule, namelijk de 2de som over de residus loopt over polen gedeeld door f(z)cotg(pi*z) in C. (dat is hier dus juist die pool in n=0)
De oplossing voor a) = pi²/6 (residu met laurentreeks doen best, of ge kunt ook 6 keer Hopital doen glhf :)
Voor b) gebruikt ge gewoon de formule uit de cursus en ge rekent dus het residu uit in z=/pm ia.
oplossing: -pi/a coth(pi*a)
Voor c) gebruikt ge b)= 2*c) + 1/a²
Ge kunt ook a) vinden door hiervan de limiet gaande naar a=0 te nemen, maar wederom een biljoen keer Hopital is niet plezant
Voor d) gebruikt ge niet de cotg(pi*z) maar sin(pi*z) (bekijk uw notities over Matsubara sommaties; dit was de eerste poging tot de constructie van de reeks adhv residus) want het residu in z=n van pi*f*sin is juist (-1)^n f(n)
oplossing: pi²*cos(pi*a)/sin²(pi*a)