WINAK

Ik ben vandaag begonnen aan numerieke methoden en ik weet echt niet hoe jullie dit allemaal gaan doen, maar ik ga zowiezo te weinig tijd hebben. Ik heb alvast een eerste vraag:

Over de methode van Newton uit hoofdstuk 2... Kan iemand mij die eens uitleggen in Amy-taal? En hoe je daar nu die convergentiesnelheid van bepaald... Ik heb al naar de practica gekeken, maar mijn nota's zijn nie duidelijk genoeg (nochtans veel opgeschreven... )

ik weet niet of ik het beter kan uitleggen als de cursus.

maar ge begint me een punt xi.

ge zoekt h zodat f(xi+h)=0

f(xi+h)=f(xi)+h*f'(xi) (lin vgl in h)

dit is 0 als h=-f(xi)/f'(xi)

=> f(xi+h) kent ge nu. xi+h :=xj

=> f(xj+h)=.....

mario wrote:ik weet niet of ik het beter kan uitleggen als de cursus.

maar ge begint me een punt xi.

ge zoekt h zodat f(xi+h)=0

f(xi+h)=f(xi)+h*f'(xi) (lin vgl in h)

dit is 0 als h=-f(xi)/f'(xi)

=> f(xi+h) kent ge nu. xi+h :=xj

=> f(xj+h)=.....

en als ge nu een functie moet vinden die convergentiesnelheid 3 heeft? Met newton? Hoe doet ge da dan?

? ksnap ni goe wa ge bedoeld

(sry ik ben hfdstk 6-7 aant samenvatten, da van newton kon ik nog ff opzoeken)

in mario zijn samenvatting :
conv snelheid is kwadratisch omdat een vorm is van een fixed-point iteratie.

[edit] ge weet toch da er een cursus is hé ? (ipv die slides)

mario wrote:? ksnap ni goe wa ge bedoeld

(sry ik ben hfdstk 6-7 aant samenvatten, da van newton kon ik nog ff opzoeken)

in mario zijn samenvatting :
conv snelheid is kwadratisch omdat een vorm is van een fixed-point iteratie.

[edit] ge weet toch da er een cursus is hé ? (ipv die slides)

mja, da is een tuyeauxvraag geweest daarmee. En jaja, ik leer uit de cursus ja

Newton(per defintie voor functies met een enkelvoudig nulpunt)is een soort van fixed point iteratie met convergentiesnelheid 2. Convergentiesnelheid is een eigenschap van een algoritme, niet van een functie.

Newton is precies niet echt eenduidig gedefineerd.

r = 3
fixed point is "optimaal" r = 2 als de eerste afgeleide nul is rond het nulpunt

dus r = 3 als de 2de afgeleide nul is rond het nulpunt zeker
want als ge dan Taylor toepast:

e(k+1) = g(xk) - g(x*) = g'''(µk)(xk - x*)³/6 = g'''(µk)(e(k))³/6

met µk in ]xk,x*[
voor convergentie is µk ongeveer gelijk aan x*

lim e(k+1)/(e(k))^r = g'''(x*)/6 en r = 3
k -> 8

nu de voorwaarde voor de functie zelf
voor Newton: g(x) = x - f(x)/f'(x)
g'(x) = f(x)f''(x)/(f'(x))²
g''(x) = ? en daaruit volgt de voorwaarde
want g''(x*) moet gelijk zijn aan nul

ok ik vind

f(x*) nul (obv.)
f'(x*) niet nul
f''(x*) nul

is het enkel schriftelijk of ook mondeling?

ik dacht ook zoiets als de christof... maar ben der wel ni zeker van.

kan er btw iemand uitleggen en of de volgende vragen oplossen:
examen janiurie 2009:
vraag 1 (vooral hoe je aan de waarde
-((b-a)^5*f^(4)(neta)/2880)
(of gewoon formule 6.30)
komt want weet die formulle ni hoe je erbij geraakt....
en vraag 2 van hetzelfde jaar

thomas wrote:ik dacht ook zoiets als de christof... maar ben der wel ni zeker van.

kan er btw iemand uitleggen en of de volgende vragen oplossen:
examen janiurie 2009:
vraag 1 (vooral hoe je aan de waarde
-((b-a)^5*f^(4)(neta)/2880)
(of gewoon formule 6.30)
komt want weet die formulle ni hoe je erbij geraakt....
en vraag 2 van hetzelfde jaar

vraag 1, hfst 6 nog niet bekeken
vraag 2 is vraag 1 van 2008
kubische convergentie betekent r = 3

H5, vgl 5.18

klopt enkel als A vierkante matrix is?

geen idee

wat gebeurt er bij 2.36?

mario wrote:wat gebeurt er bij 2.36?

kettingregel en inverse functiestelling
maar ik ben niet echt zeker want inverse functiestelling is voor functies tussen verz met zelfde dimensie, maar hij doet alsof het een functie is met een 1D argument x(e), ja e is een parameter

dx(e)/de = dx(e)/dy * dy/de

met y = f(x) + eg(x)

voor zeker e is dat 1D

en inverse functiestelling

dx(e)/dy = 1/(dy(x(e))/dx)

ik weet niet waar dat minteken vandaan komt

thomas wrote:formule 6.30

als ge dat uitrekent volgens de "gewone" formule dan komt ge een nul uit, zonder dat de 3de afgeleide nul moet zijn

dus ge moet in een 2de benadering overgaan op de 4de afgeleide ipv de 3de (cfr restterm Taylorexpansie)
die uitdrukking is gegeven bij die vraag op de tuyaux

die term in de noemer is waarschijnlijk 4!*2*3*4*5
mja ik heb geen zien om dat expliciet uit te rekenen
en het heeft ook geen enkel nut

de oplossing voor de examenvraag:
met de definitie van precisie:

als een kwadratuurformule voor een polynoom van graad m exact is dan heeft hij precisie m

als ge fout(x) integreert en met de middelwaardestelling voor gewichten die 4de afgeleide buitensmijt dan boeit de integraal zelf al niet meer, wanneer is de fout nul?

een polynoom van graad 3; a + bx + cx² + dx³
leidt dat nu is 4 keer af, dat wordt de nulfunctie
dus de fout is nul ofwel de formule is exact voor een polynoom van graad 3, dus precisie 3

tuyaux 2008
vraag 3
ik vind A0 = 0.5, A1 = 1.5, x1 = 1/3

tuyaux 2009
vraag 4
ik vind dat de nieuwe relatieve fout kleiner of gelijk aan 10^-11 is